SÉANCI' DU 2() JUIN 190S. l383 



telles que (2), ^ par sa valeur lirée de l'équalion \..^= o, valeur ((ni ne dé- 

 pend que de H, de ^^' et de leurs dérivées. 



III. Pour qii 'une sur /'ace réglée qui ne possède pas un plan directeur soit une 

 quadrit/uc. il faut d il suf/il : i" que le centre de sa quadrique osculatrice soit 

 un point Ji.re ( ". (^alors V est cons/a/it); 2" qu'on ait, pour toute génératrice g, 



soi! ^^ ^" '*' ^ /) = consl., soit -lYg coUo — // = cnnst., w désignant l'angle 



des tangentes asymptotiques relatives au point central et y,, la distance du 

 point C à la génératrice. 



IV. On peut représenter par des formules ne rcnfermani ((uo des quadra- 

 tures : i"les surfaces pour les(piclles le point central de cliaquc génératrice 

 est au milieu du sej^inenl F, ¥., et, parmi ces surfaces, celles qui sont formées 

 des binormales d'une courhe; 2" les surfaces dont la ligne de striction cons- 

 titue une des brandies de la ligne flecnodale et, parmi ces surfaces, celles 

 dont la seconde brandie de la ligne flecnodale est à l'infini. 



Lorsque 7- = o, la surface réglée a un plan directeur; alors, sur chaque 

 génératrice, un des points flecnodaux est à l'infini et le z du second point 

 llecnodal est défini par l'équation 



_i 



= langy -^^ + ^^à j^ = o, 



où l'on désigne par k la courbure totale du paraboloïde osculateur en son 

 sommet et par 7 l'angle de l'axe de ce paraboloïde et de la génératrice; w a 

 la même signification que plus haut. 



Si, par un point fixe O,, on mène un segment O, A égal à l'unité et p'aral- 

 lèlc à l'axe du paraboloïde osculateur, les projections de la vitesse du point A 

 sur les arêtes du trièdre Oxyz ont pour expressions 



siny ^log/. sin^y r/logX 

 ' [\ (Il /4C0sy <ll 



Pour que le second point Jlecnodal soit à l'infini, il faut et il su /'fit que k soit 

 constant ou encore que l'are du paraboloïde osculateur ail une direction inva- 

 riable. Les surfaces considérées ici sont les seules surfaces réglées pour lès- 

 quelles on a RR'cos*<p = const., !p désignant l'angle de la normale eu un 

 point quelconque avec une droite fixe, et R, R' les rayons de courliure |)riu- 

 cipaux en ce point. 



C. R., 1908, 1" Semestre. (T. CXLVI, N» 26.) 1*^2 



