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l'oiir (jii une surface réglée à plan directeur sot/ un paraholoïde, il faut et il 

 suffit que les axes de ses paraholoïdes osculateurs soient parallèles et qu'on 

 ait, pour toute génératrice, \/i col co = const. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les produits canoniques de genre infini. 

 Note de M. Arvaud Denjoy, présentée par M. Poincaré. 



J'ai indiqué dans une précédente Note {Comptes rendus, i3 janvier 1908) 

 conimenl il me paraissait convenable de délinir les produits canoniques de 

 genre infini et, en tous cas, comment il faut choisir l'exposant de conver- 

 gence attaché à une suite de modules /■, , Ta, . . ., /„, . . ., pour que les fonc- 

 tions entières ayant pour zéro des nombres dont les modules forment cette 

 suite, aient une limite supérieure la plus petite possible. 



Je veux faire connaître ici les études initiales sur les facteurs primaires 

 qui m'ont permis de résoudre ce problème, réservant les réponses à quelques 

 questions essentielles concernant les produits canoniques tels que je les 

 définis. 



I. Etude des maxima et des minima d'un facteur primaire. — Soit 



f, ..„,,,. ,4-^+... + - Lii»,On-/v:„,0) 



/ = «f '", u positii, réel , ( 1 — t)e - '' = e 



Voici les propriétés principales des maxima et minima de U quand u 

 reste constant. 



i" Répartition. — Les maxima et minima correspondent, pour chaque va- 

 leur positive de M, aux valeurs de données par sin(/> -h i) — ;<sin/jO =0. 

 Pour se borner aux valeurs de non extérieures à l'intervalle oà -(les 

 autres en sont symétriques par rapport à o), il y a une valeur de et une 



seule dans chacun des intervalles — '- à -(h = i, 2, ... , o — i ), une va- 



jD /> -f- I ^ ' ' 



leur entre o et — - — > si // «cT i H — ' enfin =: o, = t.. 



2" Evolution. — La valeur de qui reste comprise entre — ^ et ■:: 



(o<^li<^p) est telle (pie le point u, décrive une branche de courbe 

 s'éloignant à l'infini, sur laquelle il y a un maximum pour /( pair et un mi- 



nimuni pour h impair, égaux a [intégrale curviligne / //'' ' du., prise 



le long de cette branche. Ceci est encore vrai pour A = o (maximum et 

 branche finie), m^i H 



