SÉANCE DU 29 JUIN 1908. 1^87 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur i équation aux dérivées partirllcs des mem- 

 branes vibrantes. Mole de M. Saxiei.evici, présentée par M. 1^. IMcard. 



M. Picard a montré (Annales de l'École Normale. i90';) coininent l'on 

 pouvait ramener à une érpiation de Fredholm l'intégration de l'équation 



(i) Ai--(-).A(,r,y)r=:o, 



les dérivées normales intérieures sur le contour C devant vérifier l'une des 

 relations 



(2) -; Ar = 9(i^ ou — -=no{.s) 



(//( ' lin 



[ç/(.v') est une fonction donnée sur C et k une constante positive | ('). 



Voici une autre méthode qui met en évidence, dans le second de ces 

 problèmes, les diverses circonstances qui peuvent se présenter autour de la 

 valeur singulière A = o. 



Soit r(a7,i-; ;,7j; k) la fonction de Green généralisée qui vérifie sur le 



contour la condition ^ kV = o. L'intégration de (i) moyennant la pre- 

 mière des conditions ( ■>.) se ramène à l'équation intégrale 



r{.T,y)- ^ I j Y{.r.y; In: /. ) A(ï, v)) (•(;, 'O) rf; r/r) = «( j-.,v : A), 



u(.ï-,y\ k) étant la fonction harmonique satisfaisant sur C à la condition 



— /•// = o(.v). La valeur A = n'est pas singulière et ('(a-, r) est liolo- 



morplie autour de ce point. On établira l'existence des constantes caractéris- 

 tiques, quel que soit d'ailleurs le signe de A(.r, j'), par le procédé (jue j'ai 

 indiqué dans ma Note précédente (Comptes rendus, i5 juin t»)o.S ). 



Passons maintenant au second pi.oblème. Les fonctions r(a;,j; H,/]; k) 

 et u(.T,y\ k), méromorphes en /■, admettent le pôle simple k = o. Dès lors, 

 on est conduit à poser, en désignant par L la longueur de C, 



r(-is r; |,Y); A ) = ^ + Y'{.v,y; l, -n; /,), 

 m(x, );/.)=— ^ o{s)<ts -^ ii'{x,y; le), 

 les fonctions F' et u' étant holomorphes pour ^ = o. 



('; Noir aussi la Tlièse de M. Hi\(ia IlewMiod. 



