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Ces fonctions permettent d'écrire l'intégrale de l'équation 



dn 



l<v = 9(<) sur C 



(3) A<'-^/(j",7)=:0 



sous la forme 



en supposant toutefois remplie la condition 



/ / ./'( ■'% y ) d-v dy — j o{s) ds. 



(4) 



Si maintenant on l'ail X' = o, on voit que l'intégrale de (3), moyennant 

 la condition -r- = '-^(s) sur C et en supposant toujours remplie la relation (4), 

 est donnée par 



V—— / f r {j; y; 'E, n; o)f{c, n)dldri -^ ;/'(.r, j; o) = E, 



E étant une constante arbitraire. 



L'intégration de (i), avec la seconde des conditions (2), est ainsi ramenée 

 à l'équation intégrale 



(5) (•(x,j-)— — / / r'(.r, r; ;, rj; o) \(i:, ■fl)r(;, •o)<-/-;<'/vj =: ;/{.r,,r; o) -hE, 

 E étant une constante qu'on choisira de aianière à satisfaire à la relation 



( 6 ) '/. f fx{j;y)v{.r,y) rlv ,ly = 1 9(5) ds. 



Supposons d'abord qu'on ait 



« = / / A (.r , X)dx dy ^ o. 



On ])arviendra alors finalement à l'équation intégrale 



(7) "(^,7)- -j jr"(.r,,v;;. r,)A(.,-,)r(t, -0)=.^^-^;^^— +'/'(.r,7), 



eu posant 



r"=T'{.r,y; t, n; o) - '- f f K{.v, y) r'(.r, r; ;, rr,o)d.rdy, 

 u"{a.;y)-u'{.v,y;o— '- j j \(j:, y) u' {x, y; o)dxdy. 



