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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' existence, dans certains systèmes différen- 

 tiels, des intégrales répondant à des conditions initiales données. Note de 

 M. Ch. Riqvier, présentée par M. Appell. 



« I. Je dois d'abord rappeler brièvement un résultat que j'ai commu- 

 niqué il y a quelques années à l'Académie (' ). 



» Etant donné un système différentiel résotu par rapport à certaines 

 dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, nous dirons 

 qu'une dérivée de ces fonctions est principale relativement au système, 

 lorsqu'elle coïncide, soit avec quelqu'un des premiers membres, soit avec 

 quelqu'une de leurs dérivées; dans le cas contraire, nous dirons qu'elle 

 est paramétrique. Considérons, dans un pareil système, un groupe d'inté- 

 grales hypothétiques, développables par la série de Taylor à partir de 

 certaines valeurs initiales, ajgjXd, ..., des variables indépendantes a;, j', ...; 

 puis, dans le développement correspondant à chaque inconnue, consi- 

 dérons la détermination initiale de cette inconnue, nous voulons dire la 

 portion formée par l'ensemble des termes qui, aux facteurs numériques 

 connus près, ont pour coefficients les valeurs initiales de l'inconnue dont 

 il s'agit et de ses dérivées paramétriques de tous ordres : cela étant, 

 il suffit, pour se donner arbitrairement les déterminations initiales des 

 intégrales hypothétiques, d'imposer à ces intégrales et à telles ou telles 

 de leurs dérivées, en nombre essentiellement limité, la condition de se 

 réduire respectivement, pour les valeurs initiales de tels ou tels groupes 

 de variables, à des fonctions arbitraires des groupes de variables restants. 

 Ainsi se trouve fixé ce que l'on peut appeler ['économie des conditions ini- 

 tiales du système. 



n II. J'arrive maintenant à l'objet de la présente Note. 



» A chacune des fonctions inconnues engagées dans un système diffé- 

 rentiel faisons correspondre un entier (positif, nul ou négatif) que nous 

 nommerons la cote de cette quantité; puis, considérant une dérivée quel- 

 conque de l'une des fonctions inconnues, nommons cote de la dérivée en 

 question l'entier obtenu en ajoutant à la cote de la fonction l'ordre total 

 de la dérivée. Cela étant, les systèmes différentiels que nous aurons 

 à considérer ci-après seront tous supposés remplir la condition générale 



(') \ oir CoinpLcs rendus. 3i mal 1S9S. 



