SÉANCE DU 12 JANVIER igoS. 8l 



suivante : le système est résolu par rapport à certaines dérivées des fonctions 

 inconnues qui s'y trouvent engagées, les seconds membres sont indépendants de 

 toute dérivée principale, et, moyennant r attribution aux fonctions inconnues 

 de cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, 

 outre les variables indépendantes, que des quantités (^inconnues ou dérivées) 

 dont les cotes ne surpassent pas celle du premier membre correspondant. 



» Supposons actuellement qu'un système difFérentiel, satisfaisant à celte 

 condition générale et impliquant m fonctions inconnues, se compose de 

 m équations dont les premiers membres soient respectivement des dérivées 

 de ces m fonctions inconnues : pour que, dans un pareil système, les inté- 

 grales hypothétiques répondant à des conditions initiales données existent 

 effectivement et soient uniques, il suffît que certaines fonctions des variables 

 indépendantes, des inconnues et de quelques-unes de leurs dérivées paramé- 

 triques présentent, pour les valeurs initiales de leurs arguments, des modules 

 satisfaisant à certaines inégalités. 



» Supposons maintenant que, dans le système différentiel considéré, le 

 nombre des équations soit quelconque par rapport à celui des inconnues, 

 et que deux premiers membres au moins soient les dérivées d'une même 

 inconnue, sans qu'aucun des premiers membres du système soit la dérivée 

 de quelque autre : pour que, dans un pareil système, les intégrales hypothé- 

 tiques répondant à des conditions initiales données existent effectivement et 

 soient uniques, il suffit, d'une part, que certaines identités aient lieu, et, 

 d'autre part, que certaines inégalités, analogues à celles dont parle l'énoncé 

 précédent, se trouvent satisfaites. 



» Si l'on considère, par exemple, l'équation aux dérivées partielles 



d^ u r ( du du f/^ u d- a 



J[x,y,u, 



dx dy ' \ ' " ' dx dy dx- dy 



l'application à ce cas très simple des théorèmes ci-dessus énoncés conduit 

 au résultat suivant : pour que l'équation dont il s'agit admette une inté- 

 grale, et une seule, répondant à des conditions initiales données, il suffit, 

 en désignant par A et B les dérivées partielles du second membre/ par 



rapport à -j— ^ et -r-; respectivement, que le module initial du produit AB 



soit inférieur à \. » 



