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MÉCANIQUE. — Sur les trajectoires singulières du problème restreint 

 des trois corps. Note de M. T. Levi-Civita, présentée par M. Appell. 



« Soient J, S de masses respectives a, v = i — u. les deux corps tournant 

 uniformément (avec une vitesse angulaire égale à l'unité) autour de leur 

 centre de gravité commun. Soit P le troisième corps de masse négligeable. 



» Si l'on pose (en prenant SJ pour unité de longueur) 



A=:SP, S = JSP, A = JP = |v'i ^-r"- 2Acosâ|, 



V= \ -rcosS, F= -!r^ + 7-^(^ -iY; - -r--- — aV, 



les équations du mouvement s'écrivent, sous forme canonique, pour ainsi 

 dire, polaire, 



(I) 



» La signification des variables conjuguées R, © se tire des équations 

 elles-mêmes. En effet, les deux premières -^ = R, -^ = — — i nous ap- 

 prennent que R n'est que la dérivée du rayon vecteur, G = /■-( — -H i j le 



double de la vitesse aréolaire (absolue). 



» D'après une proposition bien connue, précisée par M. Painievé, dans 

 le problème des trois corps, le mouvement se poursuit régulièrement tant 

 qu'il n'y a pas de choc. Il s'ensuit, pour le problème restreint, que toute 

 singularité du mouvement peut provenir seulement de ce que, t tendant 



vers une valeur finie /,, limr = o ou bien limA = o. (Evidemment les 



1=1, 1=1, 



deux circonstances ne peuvent pas se présenter à la fois.) Comme les deux 

 corps S, J jouent un rôle symétrique (dans la question, sinon dans la nota- 

 tion) il suffira d'étudier le premier cas. 



Proposons-nous donc de caractériser les trajectoires 2 (réelles, cela va 

 sans dire) du système (I), sur lesquelles on a, pour une certaine valeur, 

 d'ailleurs quelconque t,, 



(i) limr=o. 



1 = 1, 



