SÉANCE DU TC) JANVIER igoS. \l\-j 



utile d'éclaircir; je pense y reconnaître aussi la véritable cause du 

 désaccord qui subsiste entre M. Painlevé et moi. 



M Dans ma Note du i" septembre dernier, j'avais, à propos d'une équa- 

 tion difTérenfielle du second ordre, montré comment, à un certain point 

 de vue, son étude peut être rattachée à la construction d'un système, S, 

 d'équations aux dérivées partielles, linéaires. J'avais conclu par une pro- 

 position dont M. Painlevé a donné, dans sa Noie du 8 septembre, un 

 énoncé précis et, sans qu'il s'en fût aperçu, rigoureusement conforme 

 ail mien . 



» Afin d'en établir l'évidence immédiate, M. Painlevé remplace, dans sa 

 dernière Note, cet énoncé par un autre et ce dernier traduit bien, en effet, 

 une proposition intuitive; mais elle est aussi toute différente de la première, 

 comme il est aisé de s'en convaincre. 



» J'adopte les notations mêmes de cette Note : chacun des systèmes 

 linéaires S, dont j'ai parlé, aurait pour solution générale une expression 

 de cette espèce, 



(i) «y = (a, w, 4- «o ?/„-!- 03^3+ a,,u^)f, 



a,, . . ., a, étant des constantes, / une fonction arbitraire des variables et 

 Uy, . . ., Mj des intégrales de l'équation différentielle dont il s'asjit : « Tous 

 les systèmes S, dit M. Painlevé, peuvent s'obtenir de cette manière. >> 



» Il est d'ailleurs permis de supposer qu'une solution de ces systèmes 

 est l'unité, et cette hypothèse, que j'ai faite, s'exprime, si l'on veut, par 

 l'équation 



"4/=!. 



d'après laquelle les trois solutions, non constantes, du système S, désignées 

 dans ma dernière Note par s,, z^, s,, seraient simplement les quotients de 

 trois intégrales par une quatrième, c'est-à-dire encore des intégrales. 



» Leur jacobien devrait alors s'évanouir. Or cela est impossible, 

 puisque, pour définir les solutions s, des systèmes linéaires que j'ai consi- 

 dérés, je leur ai précisément imposé la condition d'avoir pour jacobien 

 l'unité. 



» Au reste, on pouvait, pour ce jacobien, choisir une fonction donnée 

 quelconque; un pareil choix ne joue aucun rôle dans la question et les 

 équations définitives du problème n'en dépendent pas, pourvu que la 

 valeur choisie ne soit pas nulle. 



» Ainsi, les systèmes S, auxquels j'ai rattaché l'étude proposée, n'ont 

 pas, tous, leurs solutions de la forme (i). J'avais cru pouvoir avancer, dans 



