l5o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



«/, hj étant des constantes arbitraires, kj une racine de l'équation 

 (5) J,_.(^R) = o, 



en posant 



(G) •'A-)-i^'-0'•î^(I)lT7^TM = 0.'. ^-••■)- 



Si G se compose de n cercles t^ de rayon R, dont les distances p,^ sont 

 assez grandes en comparaison avec R, on pourra de nouveau suivre 

 une méthode analogue à celle de Murphy. A chaque racine kj des équa- 

 tions (5) correspond un nombre fini de fonctions universelles <î'y avec des 

 nombres Ry que l'on peut développer en séries dont chaque terme est de 



l'ordre — comparé avec le terme précédent, et dont les premiers termes 



sont donnés en (7) et (8) : 



(7) ¥.j = kj-\-kj,+..., 



S, «/' cos/ Qi-f- Z^/ sin /oi. , ,, , . , ,1 



<Py = ~ '^-^ — - — - — ^-' — )-..., al extérieur de c/,, près de a^, 



f ^J ^ r/j.('a^.R) (^y cosy<p;t + h) si nycpA )+..., à l'intérieur de (7*. 



» Ici les «!y,6y(^=i, 2, ...,«) ne sont pas arbitraires, comme aj,hj 

 dans les équations (4), mais ils doivent, avec Xy,, satisfaire à un système 

 d'équations linéaires : 





(9) 



où nous désignons par "■/•^"^■^f' ^ y ^'"^ff j^ fonction d'ordre y dans le 

 ], 1 , j (7' cos/!»,-t- i' sin/ï/,- ... . Il, 



développement de — ^-^ — j — ^ — ^-^ en série tngonomelrique de 1 argu- 



ment cp^ sur le cercle a^. et en étendant la somme V sur tous les cercles, 



I 

 excepté c^. 



» Ces équations (9) donnent les a*, Z»* à un facteur constant près, qui 



reste arbitraire, et kj, comme racine d'une équation algébrique. 



