l52 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



H en résulte que, si R, et R„ sont les rayons de courbure normale des 

 courbes coordonnées en M; R', et K, ceux de ces courbes en M', on a 



I^^x_R2 _ FM X F'M 

 R'i X r; ~ FM'xF'M'' 



» Mais l'angle des courbes conjuguées en M et M' étant le même, les 

 produits RiRj et R, Rô ne diffèrent que par un même facteur du produit 

 des rayons de courbure principaux en M et M'. On a donc 



. N Courbure totale en M _ FM' x F' M' 



^ -^ Courbure totale en M' ~ FM x F' M ' 



Il en résulte que, si les surfaces M et M' ont la même courbure totale en M et 

 en M', le milieu N de MM' sera aussi le milieu de FF'; par conséquent la 

 congruence décrite par MM' est une congruence de Rii)aucour; donc : 



« 5i deux surfaces se correspondent avec parallélisme des plans langenls et 

 conservation des aires, la droite qui joint les points correspondants décrit une 

 congruence de Ribaucour; le lieu des milieux du segment formé par les points 

 correspondants décrit la surface moyenne de cette congruence. 



» Réciproquement, soit G une congruence de Ribaucour, N sa surface 

 moyenne; on sait qu'il existe un point P décrivant un réseau ponctuel à 

 invariants égaux parallèle au réseau N et que la droite G est parallèle à la 

 droite qui joint le point P à un point fixe O. Si l'on porte sur la droite G, 

 à partir du point N, des longueurs NM, NM' égales à K x OP, R étant une 

 constante; les points M et M' décriront des réseaux parallèles au réseau N. 

 La formule (i) montre ensuite que les surfaces décrites par M et M' ont la 

 même courbure totale. 



» On voit que nous pouvons former ainsi tous les couples des surfaces 

 demandées. 



» Si l'on veut, en outre, que les lignes de courbure se conservent Sur 

 les surfaces M et M', il faudra que le réseau décrit par N soit formé des 

 lignes de courbure; ce réseau étant à invariants égaux ponctuels, N décrira 

 une surface isothermique ; donc : 



» Si deux surfaces se correspondent avec parallélisme des plans tangents, 

 conservation des lignes de courbure et conservation des aires, le milieu de la 

 droite qui joint les points correspondants décrit une surface isothermique. 



» Signalons encore le cas particulier suivant : supposons que les focales 

 de la congruence de Ribaucour G se réduisent à des courbes C et C ; le 

 segment OP du cas général est équipoUenl à FF', donc : 



» Si deux points F et F' décrivent des courbes C et C et si Ion prend sur la 



