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» Considérons, d'autre part, une fonction «'(a;, y, s) définie par un sys- 

 tème d'équations aux dérivées partielles, soit 2, tel que la solution géné- 

 rale n:^du système ne dépende que d'un nombre 7?m de constantes a, h, ..., l, 



et en dépende algébriquement : soit w = F(x, r, z, a, h /) cette 



solution générale. Admettons enfin que la relation F = o soit une équation 

 intégrale de (i); autrement dit, que toute solution y(ir), ;(a;) de (i) 

 vérifie la condition F = o pour un choix convenable des constantes 

 a,h, .... /. 



» Je dis gnon peut déduire, sans intégration, du système 2 un système dont 

 la solution générale ne dépend que d'un nombre fini de constantes et représente 

 une intégrale première de (1). 



» En efïet, tout d'abord, il est bien connu que la solution générale de 1 

 se laisse mettre sous la forme 



(T' = G((V,, (^2. •••.«'*. ^' f' 



w,, . . ., (Va désignant des solutions particulières de 1, et G une fonction 

 algébrique des Wj et des constantes a, h, ...,/. D'autre part, la théorie élé- 

 mentaire des équations différentielles permet, par dérivation, de déduire de 

 l'équation intégrale G = o au moins une intégrale première de(i), et celte 

 intégrale première u(x,y, :■) sera une/onction algébrique de n\, ..., n> et de 

 leurs dérivées; elle vérifiera donc un système différentiel dont l'intégrale générale 

 sera une fonction (algébrique^ d'un nombre fini deconstantes et dont les coeffi- 

 cients seront des Jonctions de x, y, z exprimables algébriquement à l'aide des 

 coefficients de 1 et de leurs dérivées. On est ainsi ramené au problème traité 

 explicitement par M. Dracli. 



» 3. Le mode de réductibilité introduit par M. Liouville n'est évidemment 

 qu'un cas particulier du précédent, à savoir le cas où le système (2) est 

 un système linéaire homogène de quatrième ordre, c'est-à-dire un système 

 dont l'intégrale générale est de la forme 



(2) H' = a, iv, -+- a.^H'., -+- a^ (r., -4- a, ir,, 



fl,, a.,, (7,, «, désignant des constantes arbitraires. 



>» Les considérations du n" 2 suffisent donc à montrer que te théorème 

 deM. Drach s'applique à cette réduction spéciale. Mais, pour rendre la 

 chose plus claire encore, j'entrerai dans le détail du calcul. 



Appelons système T tout système différentiel linéaire dont la solution 

 générale est de la forme (2) et qui jouit de la propriété suivante : une 



