SÉANCE DU 26 JANVIER igo^. 19I 



solution quelconque y(x), z(x) de (i) se laisse définir par les relations 



(3) /; = A/. + B, /, = c/, + D, 



J \i J i< Ji désignant les quotients de trois solutions w^, w.,, k\.\ de 1 par une 

 quatrième w^, et A, B, C, D des fonctions convenables des deux constantes 

 d'intégration de (i). 



» Qu'il existe, pour tout couple (i), une infinité de systèmes T, c'est ce 

 que rend évident la transformation 



X=/,Or,j, s), Y = /2(x-,j,2), Z=f.,{x,y,z). 



» Quand on regarde {œ, y, z) et (X, Y, Z) comme les coordonnées car- 

 tésiennes d'un espace, dire qu'il existe des systèmes T, c'est dire qu'une 

 congruence quelconque de courbes [définie par (i)] est réductible, par une 

 transformation ponctuelle, à une congruence de droites. Toutes les transfor- 

 mations ponctuelles qui jouissent de cette propriété s'obtiennent en 

 prenant une des trois fonctions /,, /o, /, arbitrairement, soity,, et les deux 

 autres liées kf, par les conditions 



/,= a(a;, j, z.)f, + <^{x,Y, z), /3 = Y(a;, j, z)f, -+- S (a;, y, z), 



X, p, y, S désignant des intégrales premières de (3). Les fonctions /,,/a, y, 

 étant ainsi choisies, si on leur adjoint une fonction arbitraire/^ et si l'on 

 forme le système dififérentiel dont la solution générale est 



"^ =/(«</.+ «2/2 + «3/3 -+- «0- 



ce système est un système T, et tous les systèmes T s'obtiennent de cette 

 manière. 



» Parmi ces systèmes T, M. Liouville se restreint à considérer les 

 systèmes (T') qui admettent la solution «^ = i. Pour préciser, j'appellerai 

 systèmes de M. Liouville cette classe (T') de systèmes T. A tout couple (i) 

 correspondent une infinité de systèmes de M. Liouville; ils s'obtiennent 

 en faisant, dans ce qui précède, /^ i . Ces systèmes (T) dépendent encore 

 d'une fonction arbitraire de x, y, z dont on peut disposer de façon que le 

 jacobien de/,,/^,/^ soit donné, par exemple, égal à i ou à o ('). 



» C'est là ce que j'ai expliqué dans ma Note du 8 septembre dernier. 

 M. Liouville avait établi, le i*'' septembre, l'existence de systèmes (T') 



( ' ) Si l'on lient compte de celle condilion, les systèmes (T') ne dépendent plus que 

 des fonctions arbitraires de deux variables. 



