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attachés à l'équation 



(4) j"=^6y'-hx; 



ma réponse n'avait d'autre objet que de montrer que l'existence de tels 

 systèmes, étant évidente pour toute équation différentielle, n'entraînait 

 aucune conséquence particulière à l'équation (4). Les dernières Commu- 

 nications de M. Liouville constatent, d'ailleurs, qu'il est parfaitement 

 d'accord avec moi sur ces divers points. Précisons maintenant le désac- 

 cord qui subsiste. 



» 4. Parmi les systèmes différentiels (T), il en est une classe remar- 

 quable : ceux qui jouissent de la propriété que le quotient — de deux quel- 

 conques de leurs solutions soit une intégrale première de (i). Ce sont ces 

 systèmes que j'ai considérés exclusivement dans ma dernière Communica- 

 tion (8 décembre) et que j'ai appelés ( ' ) systèmes S. 



» Or, ces systèmes S n'épuisent pas les systèmes (T), non plus que les 

 systèmes (T'); d'une façon précise, un système de M. Liouville ne coïncide 

 avec aucun système S (à moins que le jacobien de /,, /.^, /, ne soit nul). 

 Telle est la remarque que fait M. Liouville dans les derniers Comptes 

 rendus; il en ^conclut que le mode de réduction qu'il propose échappe à 

 mon raisonnement, par suite au théorème de M. Drach. 



M La remarque de M. Liouville est parfaitement exacte, mais la conclu- 

 sion qu'il en tire ne l'est pas. Pourquoi, en effet, me suis-je limité, dans 

 ma dernière Note, aux systèmes S? Pour une raison bien simple : c'est que, 

 si l'on connaiH. un système (T) de M. Liouville qui ne soit pas un système S, 

 on en déduit aussitôt (^sans intégration^ un système S, du troisième ou du 

 deuxième ordre seulement au lieu du quatrième. 



» En effet, ou bien une solution au moins/, (a;, j', ;:) de (T') est une 

 intégrale première de (i) (non constante), mais alors les solutions de (T') 

 qui sont en même temps intégrales premières de (i) vériBent un système S, 

 du quatrième ordre au plus, lequel se déduit immédiatement de (T') ; ou 

 bien aucune solution de (T') n'est intégrale première de (i); il suffit 

 alors de dériver les formules (3) pour voir que, si l'on pose 



(') Est-il besoin d'ajouter que toutes les conclusions de ma Note subsistent a for- 

 tiori si le système linéaire S, jouissant toujours delà même propriété, est du troisième 

 ou du deuxième ordre el non du quatrième. 



