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port à certaines dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent enga- 

 gées, les seconds membres sont indépendants de toute dérivée principale, 

 et, moyennant l'attribution aux fonctions inconnues de cotes respectives 

 convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les 

 variables indé|)en(lantes, que tles quantités (inconnues ou dérivées) dont 

 les cotes ne surpassent pas celle du premier membre correspondant. 

 L'étude de ces systèmes m'a conduit à formuler, relativement à l'existence 

 de leurs intégrales, un ensemble de conditions suffisantes, et je me propose 

 actuellement de faire voir que la recherche des intégrales répondant à des 

 conditions initiales données se ramène, pour quelques-uns d'entre eux, à 

 une recherche de même nature exécutée sur des systèmes plus simples. 



» Étant donné un système différentiel résolu par rapport à certaines 

 dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, fixons, con- 

 formément aux indications de la Note citée, l'Âconomie des conditions ini- 

 tiales; construisons ensuite un quadrillage rectangulaire dont les lignes 

 correspondent aux variables indépendantes x, y, . . ■ et les colonnes aux 

 fonctions (ou constantes) arbitraires qui figurent dans les conditions ini- 

 tiales ; puis, dans l'une quelconque de ces colonnes, noircissons à l'aide de 

 hachures les cases des diverses variables dont ne dépend pas l'arbitraire 

 correspondante : en répétant cette opération successivement dans toutes 

 les colonnes, nous obtiendrons une sorte de damier où les cases blanches 

 et noires pourront offrir des dispositions relatives variées. Cela étant, le 

 système proposé sera dit régulier, si l'on peut adopter pour les lignes de ce 

 damier (c'est-à-dire pour les variables indépendantes ic, y, . . .) un ordre 

 tel, que chaque colonne, parcourue de bas en haut, soit ou entièrement 

 blanche, ou entièrement noire, ou formée par la succession d'un fragment 

 blanc et d'un fragment noir. 



» D'autre part, nous nommerons système simple, un système du premier 

 ordre, linéaire par rapport aux dérivées (premières) des m fonctions 

 inconnues qui s'y trouvent engagées, et résolu par rapport aux m dérivées 

 (premières) qui intéressent une seule et même variable. 



» Cela étant, les théorèmes d'existence auxquels nous avons fait allu- 

 sion plus haut, et qui s'aj^pliquent, avec d'importantes simplifications, aux 

 systèmes différentiels réguliers, doivent, dans ce dernier cas, être complétés 

 par cette remarque, que/a recherche d'intégrales répondant à des conditions 

 initiales données se ramène à une semblable recherche successivement exécutée 

 dans divers systèmes simples. » 



