SÉANCE DU 26 JANVIER rc)o3. 221 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Condition du choc dans le problème restreint 

 des trois corps. Noie M. T. Levi-Civita, présentée par M. Appell. 



« Soit, comme dans ma Communication précédente (12 janvier iQoS), 



P = |v/sf|, & = JSP, è'=f; 



1 .) o tuT • r / ' 



^ A = JP^Iv^i + p''- 2p^cos2r|, V=--p-cos&, W=sin&f( 

 j H = ± v/2v-p°S;'- + p-(— 2C + aj^V+p') 



{[j. masse de J, v = i — |j. masse de S, C constante de Jacobi). 



» Les trajectoires, sur lesquelles P et S se choquent au bout d'un temps 

 fini correspondent aux 00' intégrales du système 



holomorphes pour p = o (et à ces intégrales seulement). En appelant Sr^ 

 la valeur arbitraire £^(0) et en remarquant que &'(°) '^^^^ nécessairement 

 se réduire à — i, on aura, pour ces intégrales, des expressions de la forme 



(i) & = &„+pa(p, &„) &'4-i = p|i(p, S?„), 



a. et p étant des séries des puissances en p. 



» Pour qu'un choc intervienne, il faut et il suffit — peut-on dire d'après 

 ce qui précède — que le mouvement ait lieu sur une des trajectoires (i) : 

 il faut donc et il suffit que p, S, 2f' vérifient à tout instant l'équation qu'on 

 lire des (i) en y éliminant Sr^.. Voilà la relation invariante caractéristique du 

 choc. C'est bien une relation unique, comme le présumait M. Paiiilevé 

 (voir ses Leçons de Stockholm, p. 586). Étudions-la d'un peu plus près. 



» Tout d'abord, la première des (i) permet de tirer S'a en fonction holo- 

 morphe de p et de S'. En introduisant cette valeur dans la seconde, il vient 



(2) S'-HI=p/(p.&), 



OÙ / est une fonction holomorphe de p, dans le domaine p = o, pour toute 

 valeur réelle de &. 



» Dès que (2) est une relation invariante [par rapport au mouvement et 

 a fortiori par rapport au système (2)], en la dérivant par rapport à p et en 

 tenant compte des (2) et d'elle-même, on doit aboutir à une identité. Nous 



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