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en concluons que la fonction /( p, S) satisfait à l'équation 



où il est sous-entendu que, dans l'expression de H, on a remplacé Sr' 

 parp/-i. 



» La méthode des limites montre aussitôt que l'équation (3) admet une 

 intégrale et une seule développable en série de puissances de p. 



» Si l'on pose/=V /„p", les /„ peuvent être calculés de proche en 







proche en identifiant, dans les deux membres de (3), les coefficients des 

 mêmes puissances de p. 



)) Cette intégrale holomorphe de (3) est évidemment (d'après l'origine 

 de Téqualion) la fonction/de la relation invariante (2). On a de la sorte 

 un moyen commode pour la déterminer. On en fait, en outre, ressortir 

 une importante propriété, qui ne résultait pas encore de (2). 



» C esl qae / est une fonction périodique de ^. La condition du choc est 

 donc uniforme, au sens de M. Poincaré; elle est même algébrique par rap- 

 port aux vitesses ('). 



» Pour p. = o, on tire immédiatement, de (3),/'= o, et la condition du 

 choc (â'H-i = o) exprime que la vitesse angulaire (absolue) de P par 

 rapport à S est nulle ou, si l'on veut, que la vitesse de P est dirigée suivant 

 la droite PS. On pouvait le prévoir, puisque, pour y, = o, on retombe sur 

 le problème (plan) des deux corps. 



» Pour (A quelconque, le calcul des premiers termes donne 



1 /= I-"-?' ~ '7= sin2 2r + ^ -^ sin&( 5 cos^'S ^^ cosSr 



C — \x 



V 



3^ - COS2. 



5D V 



le radical y/av devant être pris avec le signe + ou avec le signe —, selon 

 qu'il s'agit de chocs futurs ou passés. 



» On a de la sorte une expression approchée de/, valable, pour p assez 



(') On sait que M. Painlévé a démontré {Comptes rendus, 20 décembre 1897) 1"''' 

 ne peut pas en être ainsi dès que trois masses au moins ne sont pas nulles. Le problème 

 restreint échappe donc à la démonstration de M, Painlévé et, en effet, il se comporte 

 d'une façon exceptionnelle à ce point de vue. 



