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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes de substitutions. Noie de 

 M. G. -A. MiixER, présentée par M. Jordan. 



« A. Soit G un groupe transitif de degré n, et soit G, un sous-groupe 

 contenant toutes les substitutions de G qui laissent une lettre immobile. 

 Si G contient un sous-groupe de degré n — i et d'ordre y9* (/jetant un 

 nombre premier quelconque), il s'ensuit que G est ou bien primitif ou 

 imprimilif, et, dans ce dernier cas, chacun de ses systèmes d'imprimitivité 

 contient Ip -\- i lettres; car, si G est imprimitif. G, doit transformer au 

 moins un système d'imprimitivité en lui-même, puisqu'il transforme une 

 lettre en elle-même. Bien plus, puisque n=^ kp -\- i et que n — Ip — i est 

 divisible par Ip -\- \ chaque fois que G est imprimitif, il s'ensuit que 

 k — 1= m(/p -+- i). De \a kp -h i^{p -h- i)". Donc G ne peut être imprimitif, 

 à moins que son degré ne soit ^(/? + i)°. 



» Ce résultat élémentaire est très utile dans l'étude des groupes simples. 

 Si />"(a. ^ o) est la plus haute puissance de p qui divise l'ordre d'un groupe 

 simple, ce groupe transforme les i + kp sous-groupes d'ordre /?" confor- 

 mément à un groupe transitif H. Le sous-groupe de H, (H,), qui est com- 

 posé de toutes les substitutions qui ne renferment pas une de ses lettres, 

 contient seulement un sous-groupe d'ordre /j". Le degré de ce sous-groupe 

 doit être kp, puisqu'il ne peut se trouver en deux conjugués de H,. D'ail- 

 leurs, d'après le paragraphe précédent, H est primitif ou bien tous ses 

 systèmes d'imprimitivité sont de forme ^ -I- i, et, dans ce dernier cas, son 

 degré est ^Çp -f- i)-. Pour les groupes d'opérations, on peut formuler ces 

 résultats de la manière suivante : 



» Si />" est la plus haute puissance de p qui divise l ^ ordre d'un groupe 

 simple ( K ), et si le nombre des sous- groupes de l'ordre jo" dans R est moindre 

 que (^p + \y, il faut que chacun de ces sous- groupes soit transformé en lui- 

 même par un sous-groupe maximum de K. 



» B. Mathieu a prouvé qu'il y a un groupe (G) trois fois transitif d'ordre 

 p"(^p^" — I ) et de degré p"-+- i,p étant un nombre premier quelconque et 

 n étant plus grand que o ('). Le groupe G comprend un sous-groupe (G,) 

 deux fois transitif d'ordre />"(/>"— i ) dans lequel il y a p" sous-groupes 

 conjugués et circulaires d'ordre /)" — i. 



(') Mathieu, Journal de Liouville, t. VI, 1861, p. 241. 



