SÉANCE DU 2 FÉVRIER I9o3. agS 



» On peut prouver comme il suit que G est complètement déterminé 

 par G, : soit H un groupe transitif quelconque de degré p" -\- i et d'ordre 

 p"(p'" — lequel comprend G,. 



» Chaque sous-groupe circulaire (C) de G, et d'ordre p" — i est 

 transformé en lui-même exactement par 2{p" — i) substitutions de H. 

 Ces substitutions doivent former un groupe (M) qui est intransitif et 

 de classe p" — i . Ces deux conditions sont remplies seulement 

 quand M est ou un groupe dièdre, ou quand il transforme les substi- 



tutions de C dans leur j puissance. Dans ce dernier cas/>"^i 



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 I 



mod 8 et m comprend ~ substitutions négatives d'ordre 4- 



)> Il est facile de prouver que H ne peut contenir le dernier de ces 

 groupes, alors M doit être un groupe dièdre. De ceci il résulte que les 

 substitutions de M sont complètement déterminées par celles de C. 

 Comme G, est dérivé de G, et de toute substitution de G qui n'est pas 

 contenue dans G, et comme M est complètement déterminé par C, il s'en- 

 suit qu'il y a seulement un groupe de degré p" -\- i qui comprend G. En 

 particulier il y a seulement un groupe de degré/? -h i et d'ordre /?(/)'- — i)- » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks couples w^ti/s des permutations. 

 Note de M. Dësirë André. 



« I. Toute permutation des n premiers nombres est composée de suites 

 alternatives d'éléments croissants ou décroissants. Chacune de ces suites^ 

 est une séquence. Les permutations des n premiers nombres se partagent 

 en deux espèces: celles qui contiennent un nombrepair de séquences; celles 

 qui en contiennent un nombre impair. 



» Lorsque, dans l'une quelconque de ces permutations, on échange 

 deux éléments entre eux, tantôt cette permutation change d'espèce, tantôt 

 elle n'en change pas. Dans le premier cas, les éléments échangés forment 

 un couple actif; dans le second, un couple inactif. Je viens d'achever un 

 Mémoire consacré tout entier aux couples actifs des permutations des 

 n premiers nombres; je vais en exposer les principaux résultats. 



» IL Considérons l'une quelconque de ces permutations. Appelons 

 éléments initiaux ses deux premiers éléments, éléments terminaux ses deux 

 derniers. Désignons par a la différence, prise en valeur absolue, des deux 

 éléments initiaux; par p la différence, prise aussi en valeur absolue, des 



