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deux éléments terminaux; par i le nombre des éléments initiaux non com- 

 pris, en grandeur, entre les deux éléments terminaux; par y le nombre 

 des éléments terminaux non compris, en grandeur, entre les deux élé- 

 ments initiaux; enfin, par e la différence, prise encore en valeur absolue, 

 des deux nombres i et j. Nous pouvons, pour toute valeur de n égale ou 

 supérieure à 4. énoncer ce résultat : 



» Le nombre X des couples actifs contenus dans une permutation quelconque 

 des n premiers nombres est donné par la formule 



œ 



= 2(w — r) -(a-f-[i). 



» III. Supposons placés, sur un même axe des abscisses, les deux points 

 correspondant aux éléments initiaux d'une permutation, et les deux points 

 correspondant aux éléments terminaux. Le segment compris entre les deux 

 premiers de ces points et le segment compris entre les deux derniers peu- 

 vent présenter trois positions relatives : ils sont séparés, s'ils n'ont aucun 

 point commun; imbriqués, s'ils se recouvrent en partie; superposés, si l'un 

 recouvre entièrement l'autre. De là trois sortes de permutations : permu- 

 tations à segments séparés, permutations à segments imbriqués, permuta- 

 tions à segments superposés. Lorsque n est au moins égal à 4, on arrive 

 à ces résultats : 



» 5? l'on désigne par $„, X„, W„ les nombres totaux des couples actifs con- 

 tenus respectivement dans l'ensemble des permutations à segments séparés, 

 dans l'ensemble des permutations à segments imbriques, dans l'ensemble des 

 permutations à segments superposés, on a 



4)„=^«!(4«-6). 



X" = 1T«K3«- 7)' 

 T„ = ^«!(3/i-2). 



» IV. En ajoutant membres à membres ces trois égalités, et supposant 

 toujours n au moins égal à 4, on arrive à ce nouveau résultat : 



» Le nombre total Q^ des couples actifs contenus dans le système complet des 

 permutations des n premiers nombres est donné par l'égalité 



0„ = f«!(2«. -3). 



» Et il s'ensuit immédiatement, pour le système complet considéré : 

 que le nombre moyen des couples actifs contenus dans une permutation 

 est égal à f (a/î — 3) ; que le rapport de ce nombre moyen au nombre n des 



