SÉANCE DU 2 FÉVRIER igoS. 297 



éléments de la permutalion est égal à ffs— -); enfin, que ce même 



rapport tend vers la limite l, lorsque n croît indéfiniment. 



» V. Comme on pouvait le prévoir, il existe plusieurs relations, j)1li- 

 sieurs analogies entre la théorie des couples actifs et la théorie des 

 séquences. Je citerai seulement ces deux-ci : 



» Dans les permutations de n éléments, l'excès du double du nombre moyen 

 des séquences sur le nombre moyen des couples actifs est indépendant de n et 

 égala'-, 



» Dans le système complet des permutations des n premiers nombres, 

 lorsque n croît au delà de toute limite, le nomhe total des couples actifs, d'une 

 part, et le double du nombre total des séquences, de l'autre, sont deux infini- 

 ment grands équivalents, c'est-à-dire deux infiniment grands dont le rapport 

 tend vers l'unité. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'approximation les uns par les autres des 

 nombres formant un ensemble dénombrable. Note de M. Emile Borel, 

 présentée par M. Appell. 



« 1. Etant donné un ensemble dénombrable E de nombres réels, nous 

 ferons correspondre à chaque nombre de l'ensemble un entier positif A que 

 nous appellerons hauteur de ce nombre dans E et tel que chaque valeur 

 de h corresponde à un nombre limité de nombres de E. Une telle corres- 

 pondance peut être obtenue d'une infinité de manières; dans chaque cas 

 particulier, on devra supposer qu'on a choisi une correspondance déter- 

 minée. Par exemple, si l'on considère l'ensemble des nombres-, p el q 



étant entiers et premiers entre eux, on pourra prendre pour h la somme 

 ]/j| + [^|; si l'on considère l'ensemble des nombres algébriques réels, on 

 pourra prendre pour h la somme du degré et des coefficients (entiers sans 

 facteur commun) de l'équation irréductible que vérifie le nombre algé- 

 brique. 



» Désignons par x, et x^ deux nombres de E, par h, et h., leurs hau- 

 teurs; comme il y a un nombre limité de ;nombres de hauteur A, et un 

 nombre limité de nombres de hauteur h.,, il est clair qu'il existe un mini- 

 mum pour la valeur absolue de x, — X2; en d'autres termes, il existe une 

 fonction (^(/i,, h.,), toujours positive et telle que l'on ait 



(i) \x,-x,\:>o(h,,Ii,). 



C. R., ,903, 1" Semestre. (T. CXXXVI, N" 5.) '^9 



