l'.gS ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Je me propose de résumer d'abord quelques recherches, que je pu- 

 blierai prochainement, relatives à la détermination effective de la fonc- 

 tion o(/i,,/i.^) pour certains ensembles E; j'indiquerai ensuite quel intérêt 

 il me paraîtrait y avoir à la déterminer dans des cas de plus en plus 

 généraux. 



)) 2. Considérons d'abord l'ensemble E des nombres algébriques; soient 

 a;, et x^ deux éléments de E, de hauteurs A, et Ii.,, /^ (a;) := o,f^(^x) = o, 

 les équations irréductibles vérifiées respectivement par x^ et x^. Le résul- 

 tant R de/", (ip) etdeyi(a;) est un nombre entier; sa valeur absolue est au 

 moins égale à i ; d'autre part, R est le produit de (a;, — x.,)'^ par des fac- 

 teurs dont on peut aisément obtenir une limite supérieure en fonction 

 de A, et h.^, car les degrés et les coefficients des polynomesy, (a;) el/.,(x') 

 sont limités supérieurement en fonction de h, et A,. On obtient ainsi, pour 

 chaque définition de la hauteur, une! expression de la fonction o(h,, h.,). 



)) On arrive aussi à un résultat explicite pour l'ensemble F/ des nombres 

 algébriques obtenus en adjoignant le nombre e au domaine naturel de 

 rationalité; l'ensemble E' comprend l'ensemble E; il suffit d'employer la 

 méthode que j'ai indiquée dans ma Note du 6 mars 1899. 



» Les ensembles E et E' constituent des corps algébriques, c'est-à-dire 

 contiennent tous les nombres qui peuvent être algébriquement définis au 

 moyen de leurs éléments; au point de vue des applications, les résultats 

 relatifs à des nombres formant ainsi un corps présentent un intérêt partie 

 culier, comme on s'en rend facilement compte. 



» 3. Dans les travaux antérieurs sur l'approximation des incommensu- 

 rables, on supposait que le nombre a?, appartenait à un ensemble E,, le 

 nombre x^ à l'ensemble E2 des nombres rationnels, et l'on cherchait une 

 limitation asymptotique de <p (A,, A^) lorsque, A, étant fixe, A^ croissait indé- 

 finiment; tels sont les résultats deLiouville, de M. Maillet, de M. Stôrmer ; 

 dans ma Note précitée, j'ai étuiiié le cas d'un ensemble E formé des 

 nombres algébriques, mais j'ai supposé aussi a;, fixe et cherché seulement 

 une limitation asymptolique de «p(A,, h.,); pour les applications, il y a un 

 grand intérêt à se placer au nouveau point de vue que je viens d'indiquer, 

 car une inégalité asymptotique est souvent peu utile lorsque l'on ne sait 

 pas à partir de quelle valeur de la variable elle est vérifiée. 



)> Indépendamment des applications qui peuvent être suggérées par les 

 tfàvaûx que je cite à la fin de cette Note, la détermination effective de la 

 fonction 9(A, , A„), dans des cas de plus en plus étendus, me paraît avoir 

 un certain intérêt au point de vue des principes. Si l'on construit l'analyse 



