SÉANCE DU 9 FÉVRIER igoS. S^g 



» Lorsque /{• = o on retrouve les fonctions d'ordre fini. Dans le cas où 

 les deux inégalités ci-dessus doivent être remplacées, la première par 



quel que soit le nombre p fini pour une infinité de valeurs de r indéfiniment 

 croissantes, la deuxième par 



la fonction sera d'ordre (k, o). Pour X- = oon retrouve les fonctions quasi 

 algébriques ou les fonctions d'ordre o. 



» Enfin, dans le cas où l'on ne peut trouver de valeurs de ^ et p telles 

 queM^5e^.(/-f'+^) dès que /■> H, la fonction sera dite d'ordre transfini. Nous 

 n'étudions pas ici de pareilles fonctions. 



» Nous avons pu étendre aux fonctions d'ordre infini certains résultats 

 obtenus par nous pour les fonctions d'ordre fini. 



» I. Si, dans la série (i), quand m ^ [ji. ([;. fini) les termes sont tels que 



l«m|2 '/. . ' 



(log*m)Vp ^ 

 on a 



|mod/(.r)[^e,,,(rP-^=) 



dès que r dépasse une certaine limite finie ^, £0 étant une quantité finie, 

 positive, que l'on peut prendre aussi petite qu'on veut pourvu que ji et Ç 

 soient convenablement choisis. 



» S'il y a de plus dans la série (i) une infinité de valeurs de m telles que 



(^) l«'»l-(log,/,.)(^^)"' 



il y a une infinité de valeurs de r telles que 



max. mod/(x)^ei,^, (r^~^'); 



f{x) est alors d'ordre (A, p). 



» f{x) étant d'ordre (^k, p), si, pour toute valeur de r> ^, 



max. mod/(a;)^e^.^,(rP^-), 



on dira que /(a;) est à croissance régulière. Dans le cas contraire, c'est- 

 à-dire si cette inégalité est en défaut pour une infinité de valeurs de r indé- 

 finiment croissantes, la fonction sera dite à croissance irrégulière. 



