35o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



n. Si 6 est un nombre positif qui croît moins vite avec m que 



m(\oz.k^.^rny~'^ — m 



(p positif aussi petit qu'on veut, mais fini) et si, sur coefficients à partir 

 de a,„, il y en a toujours un tel que (3), dès que m dépasse une certaine 

 limite, (i) esta croissance régulière. 



» Ces propriétés restent exactes pour les fonctions d'ordre {^k, o) 

 moyennant de légères modifications. 



» III. Tout ce qui précède s'étend de suite aux fonctions quasi-entières et 

 mcnodromes dordre non transfini aux environs d'un point critique isolé. 



» IV. Les solutions monodroraes des équations diflérentieiles linéaires, 

 dont les coefficients sont des polynômes, ou même les intégrales de ces 

 équations qui, par rotation autour d'un point critique, sont multipliées par 

 un facteur constant sont à croissance régulière aux environs de ce point, 

 si elles n'y sont pas d'ordre transfini. 



V. Il en est de même des fonctions de la forme P(-) +2J^n^" ^" 







P(£r) +^S^-^^i où P(^) est un polynôme et VO„.t" une fonction entière, 







quand elles satisfont à une équation différentielle rationnelle 



(A polynôme) ne renfermant qu'un seul terme en y, y' , . . .. ouj''*'. 

 » VI. Si l'équation F = o ci-dessus est de la forme 



Ay*' =$(/*-'), ...,y,x), 



$ étant un polynôme en x, y, . . . , y'*"'', A un polynôme en x, elle ne peut 



admettre une solution de la forme -j—i\j\ ^ étant une fonction entière 



d'ordre non transfini, que si X, a sa croissance régulière. 



« C'est en particulier le cas de l'équation y" = hy"^ -\- x de M. Pain- 

 levé (^). 



(') Comp. BouTROVX, Comptes rendus, 1 3 janvier 1902. 



