SÉANCE DU 9 FÉVRIER igoS. 35î 



» VII. L'équation différentielle 



(A|, . . ., Aj^., polynômes) a pour intégrale générale une fonction entière 

 d'ordre fini et à croissance régulière. 



» VITI. L'équation différentielle -^ — zsx''y = o (ot const., q entier 



positif ou négatif, k-\-q^ o) admet comme intégrales une ou des fonctions 



entières d'ordre fini — j — et à croissance régulière : cet ordre peut donc 



être un nombre rationnel quelconque. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les opérations fonctionnelles. 

 Note (le M. Hadamakd, présentée par M. Jordan. 



« Les opérations fonctionnelles linéaires, c'est-à-dire les lois suivant 

 lesquelles on peut, à toute fonction /(x) définie dans un intervalle 

 a <; a; < è, faire correspondre un nombre U ('), dételle façon qu'on ait 

 (quels que soient les nombres c,, c, et les fonctions fi,/.,) 



Û (c,A + c,f, )=c,\](f,)-^c,\}{f,) 



ont été étudiées principalement par MM. Volterra, Pincherle, Bourlet. 



» Ces savants ont été conduits à exprimer les opérations en question 

 par des séries de la forme 



(i) U = a„/(^„) ^ aj'(x,) + . . . + ££/p(a.„) + . . . . 



Un tel développement, dans lequel x^ est un nombre arbitraire, est, par 

 suite, possible d'une infinité de façons. Il ne saurait être valable (sauf dans 

 des cas exceptionnels) que pour des fonctions analytiques : encore a-t-il. 



(') Je me place ici au point de vue adopté par M. Volterra dans ses études sur les 

 fonctions de lignes, et qui me paraît préférable à celui de MM. Pincherle et Bourlet. 

 C'est, me semble-t-il, introduire un élément parasite dans la question que de consi- 

 dérer U comme une fonction de la même variable x qnï figure dans/. Rien n'empêche, 

 lorsqu'on raisonne comme je le fais dans le texte, de faire dépendre U non seulement 

 de la forme de la fonction /(;r), mais aussi d'un certain nombre de paramètres, dont 

 l'un sera, le cas échéant, désigné par x, comme la variable qui figure dans y. 



