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en général, un champ de convergence limité, même dans ce domaine parti- 

 culier. 



»> On peut, comme on sait, arriver à un résultat plus précis en rempla- 

 çant /(a:) par son expression à l'aide de l'intégrale de Cauchy, ce qui donne 



U[/(^)] = ^/?( = )/(=)^/:^, 



en désignant par <p(a;„) le résultat de l'opération U, appliquée à la fonc- 

 tion -^ et désignant par C un contour fermé qui enveloppe le segment 



de droite ab. 



» Moyennant quelques propriétés simples supposées à la fonction çf^), 

 on trouve pour U une somme de termes de la forme 



(2) f\f(^x)^{x)dx 



et d'expressions analogues à (i), mais dans lesquelles les coefficients a^, .... 

 Op, ou bien sont en nombre fini, ou bien décroissent comme les coefficients du 

 développe/ne nt d'une jonction entière. 



» Contrairement à la première, une telle réduction, si elle est possible, 

 ne l'est que d'une seule façon. Elle peut s'appliquer lorsque /(a;) n'est pas 

 analytique, mais sans que le raisonnement précédent permette de rien 

 affirmer dans ces conditions. 



» Il m'a paru nécessaire de traiter la question en faisant complètement 

 abstraction de l'analyticité de /(a;). C'est à quoi l'on arrive facilement en 

 suivant une voie tracée par Weierstrass et Kirchhoff et introduisant une 

 fonction F(a7), laquelle n'aura qu'un nombre fini de maxima et de minima 

 et telle que 



/ Y{^x')dx = i; 



par exemple, de F(x) = — e~*". 



y 7r 



» Si l'on part alors de l'identité connue 



(3) Um 17. / /{x)F{ii.{x — x„)]dx=f(x,) a<ar„<6, 



et si l'on suppose (comme l'ont fait les auteurs précédemment cités) que 



