SÉANCE DU 9 FÉVRIER [goS. 353 



l'opération U est continue (au sens de M. Bourlet), il suffira de poser 



pour montrer que notre opération peut se mettre sous la forme 

 (4) U[/(a.)]= lim f''/(x)^œ,^)da^. 



» La condition nécessaire et suffisante pour que U ait la forme (2), 

 ij/(a7) étant fini et continu, est que ^Çv„, ^i.) tende uniformément vers '\i{x), 

 lorsque [a augmente indéfiniment par valeurs positives ou négatives (mais 

 réelles). 



» Il est un peu moins aisé d'exprimer que U est de la forme (i) ou est 

 une somme d'expressions (i) et d'expressions (2). 



» La méthode s'étend d'elle-même au cas où U dépendrait d'une 

 fonction /(ic, y, . . .) de plusieurs variables. 



» On trouverait encore 



U/(^,7, ■■■) = lim (■■■fi /(^,.r, ...)<^{x,y, .. . ,y.) dxdy. . . . 



)> Aux expressions analogues à (i) ou à (2) viendraient, bien entendu, 

 se joindre (dans le cas de deux variables par exemple) des intégrales 

 simples, prises le long de lignes et portant sur/ et ses dérivées. L'étude de 

 telles opérations, au point de vue où nous nous plaçons, conduit à des 

 résultats assez curieux, dans le détail desquels je n'entrerai toutefois 

 pas ici. 



» Je terminerai en indiquant un exemple de fonctions de lignes ou de 

 surfaces, dont la variation infinitésimale a la forme (2) dans le premier 

 cas, la forme analogue exprimée par une intégrale double dans le second, 

 et auxquelles s'appliquent par conséquent des raisonnements tout sem- 

 blables à ceux du calcul des variations, quoiqu'elles soient bien plus 

 générales que celles dont traite ce calcul, même sous la forme étendue 

 que lui a donnée Mayer. 



» Considérons une surface fermée S, deux points intérieurs A, B, et soit 

 g^ la fonction de Green relative à ces deux points et à celte surface. Quelle 

 sera la variation de g'^ lorsqu'on déformera infinitésimalement S, sans 

 changer les deux points? 



» Si 1 est la distance normale de la surface déformée à la surface primi- 



C. R., 1903, 1" Semestre. (T. CXXXVI, N' 6.) 4^ 



