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jours inférieure (quant aux valeurs absolues) au produit de la dérivée 



considérée -7- -, en train de s'éloi"ncr de zéro, iiar le champ / dx 



OU / (h. Pour la même raison, ces dérivées premières de a y sont très 



petites |)ar rapport aux dérivées secondes dont elles constituent des inté- 

 grales analogues; ces dérivées secondes sont, de même, très petites ]5ar 

 rapport aux dérivées troisièmes; et ainsi de suite, jusqu'aux plus élevées de 

 chaque espèce (en x ou en t) figurant dans l'équation du phénomène, 

 seules susceptibles, dans cette équation, de varier sans continuité, ou de 

 débuler par une valeur sensible. En effet, la loi du phénomène n'aurait 

 plus de sens si certaines des dérivées qui y figurent n'existaient pas, 

 comme il arriverait aux moments où les plus élevées de chaque espèce, 

 en X ou t, que nous supposerons d'abord être du même ordre, le /i'*'"*, 

 auraient leurs intégrales (dérivées d'ordres inférieurs) discontinues. 



)) 111. Donc l'équation donnée, aux différentielles [>artielles, si elle est 

 linéaire par rapport aux dérivées du «'''"^ ordre et qu'elle contienne assez 

 de ces dérivées du /i'""^ ordre pour que toutes les dérivées d'ordre moindre 

 y figurant aussi en soient des intégrales, pourra être réduite, près de la tête 

 de l'onde, à ses termes affectés des dérivées d'ordre n, dans lesquels 

 d'ailleurs il sera permis d'annuler la fonction u et ses dérivées d'ordres 

 moindres, comme on l'aura fait ainsi dans tous les termes supprimés; et 

 cela, avec une approximation relative d'autant plus grande qu'on se tiendra 

 plus rapproché de la région où u = o. L'équation du problème y deviendra 

 par conséquent linéaire, à coefllcients constants, et homogène quant à 

 l'ordre des dérivées de u y figurant. Soit alors 



, V (/" a , d" Il d" Il 



celte équation réduite. On y satisfera par des intégrales particulières de la 

 forme u =z f(^x — co/), avec/ fonction arbitraire et w racine de l'équation 

 algébrique du n""""^ degré 



(2) a — bto + co>- — ...=• o. 



» Il suffit donc, d'une part, que celle-ci admette une racine w réelle et 

 positive, d'autre part, que /(a-) exprime, à l'époque / = o, le changement w 

 aux environs de la surface séparative (mobile), pour que la propagation 

 effective du mouvement y soit, ou du moins puisse v être exprimée par 

 l'intégrale /(x — w/), évidemment représentative d'une propagation uni- 



