SÉANCE DU 16 FÉVRIER igoS. 429 



forme de célérité tit. Et il est clair qu'alors les termes de l'équation donnée du 

 problème supprimés préalablement, on affectés de u et de ses dérivées 

 des n — i premiers ordres, n'influent nullement sur cette célérité w de la 

 tète ou du front de l'onde. 



» IV. Lorsque les n racines de l'équation (2) sont réelles et qu'une seule 

 est positive ou correspond à un mouvement propagé vers les x positifs, 

 l'intégrale générale, somme des n solutions particulières, exprime la super- 

 position de n ondes, dont les n — i émanant de la région des x infinis 

 positifs sont annulées par la condition de repos primitif de cette région, en 

 même temps que la partie la plus antérieure de la «'*■'"". Donc l'expression 

 f(^x — w<) de u, pour la tête de l'onde, devient alors non seulement pos- 

 sible, mais inévitable. 



» Tel est justement le cas de la corde vibrante, où /i = 2, et qui constitue 

 le type simple de la plupart des phénomènes ondulatoires. L'équation des 

 télégraphistes s'y réduit, par la suppression des deux termes oi\ figurent la 

 fonction u et sa dérivée première en t. Voilà pourquoi la tête de l'onde élec- 

 trique progresse comme si ces termes n'existaient pas. 



» V. La méthode cesse d'être applicable, quand imc dérivée de u, 

 d'ordre inférieur à n, figure dans l'équation et que les dérivées /j"™"' de u, 

 dont celle-là pourrait être intégrale, y font totalement défaut, comme, par 

 exemple, quand l'équation, du second ordre, contient, ainsi c[u'il arrive 



dans la théorie analytique de la chaleur, -j--, sans contenir aucune des deux 



dérivées -j-, r-r- Car, alors, cette dérivée, d'ordre inférieur à n, n'est ' 



d{x,t)dt 



masquée par aucune autre dérivée dans l'équation; et elle y subsiste plei- 

 nement, si près qu'on soit de la tète de l'onde. En réalité, il n'y a, dans 

 ce cas, réellement plus de tête, dès que la propagation a commencé, la fonc- 

 tion u ne s'y annulant d'une manière continue que pour a; infini. Essayons, 

 sans entrer dans les détails, de le reconnaître par la môme méthode, en 

 recourant, pour suppléer à son insuffisance, au sentiment de la continuité 

 des phénomènes naturels. 



)) Supposons que la dérivée, d'ordre n, absente de l'équation du pro- 



d'^ Il d" u 



blême soit ou -j-tt,.- ou -ijjr- Suivant que c'est la première ou la seconde, 



introduisons fictivement dans (i), pour rendre la méthode applicable, un 



terme de la forme e-}— r ou de la forme s-rv avec i très voisin de zéro. 

 dx"- dt" 



L'équation (2) aura, dès lors, ou s pour premier terme, ou ± ew" pour 



C. K., 1903, I" Semestre. (T. CXXXVI, N» 7.) 56 



