43o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dernier terme du premier membre. Et l'évanouissement finnl de e donnera 

 lieu à une racine, w, nulle dans le premier cas, infinie dans le second. Or, 

 dans le premier cas, où la tête de l'onde, si elle existait d'une manière 

 continue, serait ainsi immobilisée (vu co = o) en un certain point d'abs- 

 cisse X, u et ses dérivées en t s'y annuleraient identiquement, sans qu'il en 

 fût généralement de même des dérivées de m en a; ou, du moins, de la plus 

 élevée entrant dans l'équation proposée; et celle-ci ne se trouverait pas 

 satisfaite. Dans le second cas, la tête de l'onde, animée d'une célérité w 

 infinie, serait instantanément portée jusqu'aux abscisses a; infinies. 



» Tant dans un cas que dans l'autre, le raccordement de l'état primitif 

 uniforme u^= o avec l'état troublé variable u se fera donc asymptotique- 

 ment, aussitôt après le début du phénomène. 



» VI. C'est bien ce que montrent, quand l'état initial Uf,^/(a') s'an- 

 nule pour les grandes valeurs positives de x, les intégrales connues 



(3) H = ^ r e-'^'/fx - ^) dy., u = -^ r e-^'/(,:r + zy./t) do,. 



qui sont vraisemblablement les plus simples offrant les particularités con- 

 sidérées ici. Prenons-y, par exemple, f{x) nul pour x positif, égal à i 

 pour X négatif et très rapidement décroissant de i à zéro pour x voisin de 

 zéro. Ces deux formules (3) deviendront, dès que t et x seront positifs, 



(5) u = ^. r-^' f-«V/a, u=^f '*''e-«V/a = -^ f e'^' dy.. 



V' 



» Dès que t excède zéro, u ne s'annule que pour x infini, même dans le 

 cas de la première formule, où le mouvement de la tête de l'onde,. i'iV 

 avait pu être continu, se serait réduit à zéro. On y a sensiblement, tant 

 que t est très petit, 



e~°''= I ou u = —=.■ )) 



