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de C, tandis que la série ku + kf-r -+- k.^x- -j- . . . diverge pour chaque point 

 à l'extérieur de C. 



M Abei a nommé la fonction entière 



la fonction génératrice de f{x), et c'est l'intégrale 



f e-'"F,(co.r)f/w 



qui est l'intégrale deLaplace-Abel. On connaît les profondes recherches de 

 MM. Poincaré et Borel relatives à cette intégrale. M. Borel est parvenu 

 à déterminer l'étoile de convergence par rapport à x de l'intégrale. Je 

 désignerai cette étoile, appelée par M. Borel le polygone de sommahiUté, 

 par la lettre B'"'. M. Borel a démontré que l'intégrale converge partout à 

 l'intérieur de B''\ tandis que M. Phragmen a démontré qu'elle diverge en 

 chaque point à l'extérieur de B'". On a donc l'égalité 



FB' 



'\x)= f c-''V,{Lox)ch 



» J'ai montré, dans un travail récent, en m'appuyant sur la théorie de la 

 représentation conforme, qu'on peut généraliser l'intégrale de J^aplace-Abel, 

 de manière à obtenir la représentation d'une branche de F(i') avec un 

 domaine plus étendu que B'*' et qui s'approche indéfiniment de l'étoile 

 principale A définie par les constantes A„, /.•,, l>\,, . . ., en même temps 

 qu'une certaine constante primilive a tend vers zéro. 



» J'indiquerai dans la Note présente une autre manière aussi générale, 

 mais plus importante, de généraliser l'intégrale. 



» J'introduis, au lieu de la fonction génératrice d'Abel, la fonction géné- 

 ratrice plus générale 



*^' " '(a.i -|a.2 |a.(' 



OÙ a désigne une constante positive et 



\a.,{> = r(a(' + i). 



» On voit que Ya_{x^, aussi bien que F,(a"), est une fonction entière. 



