SÉANCE DU 2 MARS igoB, SSg 



Ma nouvelle intégrale est 



("r-'M-\(co.r)rA.,% 



et j'arrive à l'égaiitc 



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où B'"^ désigne une étoile qui s'approche indéfiniment de l'étoile princi- 

 pale A, en même temps que a tend vers zéro. L'étoile 8°"' est une étoile 

 de convergence, c'esl-à-dire que l'intégrale converge toujours par rapport 

 à .r à l'intérieur deB'"', tandis qu'elle diverge en choque point à l'extérieur 

 de Bt«'. 



M A l'étude de mon intégrale se rattache intimement l'étude d'une nou- 

 velle fonction entière qui est une généralisation de la fonction exponen- 

 tielle, savoir la fonction 



Ea(.r) = I + -^ + -^ + . . . + -^ + . . . . 



» Cette fonction possède entre autres la propriété remarquable que son 

 module a une limite supérieure finie dans l'angle 



a. - •< o < 2- — y. 



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tandis qu'elle croit comme e' " dans l'angle — a. - -< o <'■/.. -• 



» Par elle se trouve donc tranchée une question importante soulevée 

 par M. Borel : Peut-on trouver une fonction entière dont le module ne croit 

 indéfiniment qu'à l'intérieur d'un angle donné d'avance, aussi petit qu'on 

 le veut, ou sinon peut-on démontrer rigoureusement que cette question 

 doit être résolue par la négative? 



» Je publierai iirochainement en détail les recherches que j'ai enlre- 



prises, tant par rapport à l'intégrale / e~"'^ b\o)x)d(û'^ que par rapport 



à la fonction l\(^x). 



» En terminant, je noie seulement que l'on arrive encore à des résidtals 

 "intéressants en sup])osant x complexe. » 



