SÉANCE DU 9 MARS I()o3. Spg 



» En dilTérentiant ces formules on trouve 



oîi /i. //,, //o ont les valeurs suivantes : 



i(f- cos/'O, — 1- sin /"Oo, 



(9) \ ^' ^ ^^ ^' "^ "*~ "" cosoO. — />' sino 0, 



//?" ces 'i — (7' si n '!/ , . 



» Ce résultat montre qu'à toute solution du système (6) on peut faire 

 correspondre une infinité de solutions du système (7); la réciproque est 

 exacte, seulement il faudra effectuer des quadratures pour passer d'une 

 solution de (7) à une solution de (6). Il résulte de là que, si l'on connaît 

 un de ces systèmes triples, on pourra, à l'aide de quadratures seulement, 

 en déduire une infinité d'autres ayant la même représentation spliérique; 

 mais c'est un point sur lequel je n'insiste pas en ce moment. 



» Si maintenant p, q, r et p' , q' , r' sont deux groupes de constantes 

 solutions de l'équation (3), à tout système triple du premier groupe on 

 pourra, de deux manières, faire correspondre un système du second 

 groupe : 1° en supposant que h, h,, h.^ ont les mêmes valeurs, c'est là notre 

 point de départ; 2° en supposant que 0, 0,, 9, ont les mêmes valeurs; les 

 systèmes correspondants sont tels que le rapport des distances d'un point 

 fixe aux plans tangents correspondants d'une même famille est constant 



(pour les surfaces p = const., ce rapport est — )• En général, ces deux pro- 

 priétés n'existent pas ensemble : nous allons indiquer un cas particulier où 

 elles sont réunies. 



» Si/j', q\ r' sont des constantes dont la somme des carrés est nulle, le 

 système (G) admet ime infinité de solutions telles que 



(10) /j'-0=-l-^'-0; + /-'-f)^ = o 



(on peut prendre par exemple />'0 = ^' + /^'-; y'ft, =;'/+?^','; /■'0^ = ç.,'+E?)- 

 Ces solutions satisfont en outre aux équations 



1 o =/j'^ y + iq'- cos/6, — r'- sin/d^, 



I ^lA 



(ri) < o = fl'- -^ -h ir'- cos o9., — p- sin c&O, 



f o = /■'- -^ + ip'- cosJ;0 — q'- sin <\^^ . 



