SÉANCE DU 9 MARS 1Ç)o3. 6oi 



dont le rO)le important en Géométrie a été indiqué par M. Darboux, et 

 soient (A,,B,), (Aj.B.,), (Aj.Bj) trois couples de solutions. Les deux 

 systèmes 



I ,/.V= \\,fl\, - B;, rfA,. 



(S) ■ r/>' = B,r/A,-^B,r/A,, 



' dz = l\,d\,- \),<l\,. 



l dv'= \.,dl],~ A;, '/!!,, 

 (S') ■ r/v'= \:,r/B,- \,dl\,. 



{ dz' =-- \,d\\., \,r/B,. 



où les constantes d'intégration sont choisies de manière que 



définissent deux surfaces S et S'. Les droites qui joignent deux points cor- 

 respondants M{x, y, z) et W {x' , y' , z') sont des tangentes communes. En 

 outre, les lignes asvniptotiques se correspondent ( ') sur les deux surfaces: 

 ce sont les lignes coordonnées, 



» Si donc les trois couples satisfont à la relation 



(2) A,B, + A,B,4- \,B3=(), 



les plans tangents en M et M' sont rertangulaii:es et, par suite, les sur- 

 faces S et S' constituent la développée d'une surface de Weingarten. On 

 peut démontrer que, réciproquement, toutes les surfaces de Weingarten 

 peuvent èlre obtenues |)ar le procédé précédent, c'est-à-dire en détermi- 

 nant les systèmes (1) qui admettent trois couples de solutions satisfaisant 

 à la rehition (2). Par un changement de variables évident, on peut d'ail- 

 leurs donner au svstème (1) l'une des formes suivantes : 



(3) 

 (4) 



C) Cf. Note de M. Giichard, Sur les congruences dans lesquelles les lignes 

 asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale (Comptes 

 rendus. 1890). 



