SÉANCE DU 9 MARS ipoS. 6o3 



suivant : dans le déterminant | A | tous les (p — q — 1)"""^» mineurs sont 

 nuls, tandis qu'un au moins des (^p — ^yy'-m« est ^ o. 



» La matrice A est définie comme hermitienne par la double condition : 

 1° A = A' ; 2° l'expression réelle X = A(a7, x)^ o pour toutes les valeurs 

 des X. Alors | A | :^ o. 



» Si l'on admet que Xrio, la matrice hennilienne A devient une hypo- 

 hermilienne soit complexe 31, soit réelle en X, et le rang q <C. P- Nous 

 nommerons U une substitution unitaire /j-aire et W une U réelle, c'est- 



à-dire orthogonale. 



>) Voici les principales propriétés des hypohermitienncs % et X. 



» 1. Toute % est canonisable et possède au moins une canonisante IJ. 



%_ 



') II. .4 toute % correspond une et une seule hypohermilienne % = %'", 

 telle que 31 = v"\ rn = entier positif. %et M ont le même rang q. Si 31 est 

 réelle, JB est aussi réelle. 



» III. Toute 31 peut être engendrée par le procédé 



% = aa' , 



ou a est une matrice p-aiie de même rang q que 31. Pour %. donnée, a s'ob- 

 tient par la formule 



a = %'\}, U = unitaire arbitraire. 



» IV. Toute A,, est symétrique. Pour qu'une matrice réelle et symétrique 

 soit une hypohermilienne X, il faut et il suffit que la forme quadratique 

 A. {t, t) soit -"1 o pour toutes les valeurs réelles des t. 



» V. Toute -X est canonisable et possède au moins une canonisante W. 



» VI. Toute -X peut être engendrée par le procédé X = 'J?'f', où $ est une 

 matrice réelle p-aire de même rang q que X. Pour X donnée on a 



ijf — X- W, W = arbitraire. 



» J'espère montrer, dans une Communication ultérieure, le rôle impor- 

 tant que jouent les liypohermiliennes réelles =^1, dans la Géométrie, soit des 

 systèmes de sphères dans un espace à n dimensions; soit, dans le même 

 espace, des substitutions W linéaires, réelles et orthogonales. 



» On voit que les bvpohermitiennes (dont une Note insérée au Bulletin 

 de la Société mathématique donnera l'étude détaillée) partagent presque 

 toutes les propriétés des hermitiennes. 



