SÉANCE DU l6 MARS igoS. 669 



OU tapissent toutes les anfractuosités des troncs de fougères et autres 

 plantes dont la matière organique est encore à peu près intacte. 



» En résumé, les manifestations volcaniques de la Guadeloupe n'ont 

 pas changé de nature; mes observations, de même que toutes celles qui 

 ont été faites depuis la dernière éruption (1837), montrent que, comme 

 par le passé, l'activité des fumerolles subit des variations d'intensité et 

 aussi qu'elle se déplace; l'histoire des fumerolles de l'Echelle en est 

 l'exemple le plus frappant. Il sera aussi intéressant, au point de vue scien- 

 tifique, qu'utile au point de vue de la tranquillité des populations du 

 voisinage de les suivre désormais de près. J'ai fourni à M. de la Loyère, 

 Gouverneur de la Guadeloupe, un programme d'observations méthodiques 

 et continues qui va être mis à exécution et qui fournira probablement 

 d'intéressants résultats. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'existence des dérivées. Note 

 de M. H. Lebesgue, présentée par M. Emile Picard. 



« On sait, depuis Riemann et Weierstrass, que les fonctions dérivables 

 ne forment qu'une classe particulière dans l'ensemble des fonctions con- 

 tinues; mais, dès que l'on renonce à l'usage de la dérivée, les difficultés 

 que l'on rencontre sont telles que les fonctions dérivables sont presque 

 uniquement employées en Analyse. 



)) Il y a donc lieu de rechercher quand on peut affirmer qu'une fonction 

 est dérivable, c'est-à-dire de rechercher des conditions suffisantes pour 

 l'existence de la dérivée ('). Je donne plus loin des énoncés relatifs à 

 cette question; ces énoncés se rattachent aussi aux considérations sui- 

 vantes. 



» Au lieu de rechercher quelles sont les fonctions dérivables, on peut 

 essayer d'étendre la notion de dérivée; c'est ce qu'ont fait du Bois-Reymond 

 et Dini par l'introduction des nombres dérivés. Relativement à ces nombres 

 on peut se proposer des questions analogues à celles que l'on résout pour 

 la dérivée; en particulier, on peut rechercher/(a7) connaissant l'un de ses 



(') Le seul résultai qui, à ma connaissance, ait été obtenu dans cette voie, est dû 

 à M. Dini; on peut Ténoncerainsi : Si les valeurs de K, pour lesquelles la fonction 

 continue /(x) — Ko; n'admet pas une infinité de maxima et de miniraa autour du 

 point x = x„, forment un ensemble partout dense, /(ce) admet une dérivée pour a; = x,,. 



