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nombres dérivés, Ad[/(x)] |>ar exemple. Si Aj est intégrable au sens de 

 Riemaiin, l'intégration de A,/ fournit /(a;'). En adoptant la définition .de 

 l'intégrale que j'ai donnée dans ma thèse ('), on peut étendre ce résultat 

 à des cas plus généraux. D'une façon précise : Si A,i[/{x)] (ou A„, 7.^, >,.) 

 est ^ni pour chaque valeur de x, pour que \,i ail une intégrale, il faut et il 

 suffit que f{x) soit à variation bornée, et alors on a: 



(i) f(^)-f{a)=f \,[f{x)]dx. 



» Si \d est aussi fini, de l'égalité analogue à (i ) relative à X^, on déduit 

 que les points oùArf et T.^ sont différents, c'est-à-dire ceux où/ (a;) n'a pas 

 de dérivée à droite, forment un ensemble de mesure nulle. En raisonnant 

 ainsi, on voit que : si l'un des quatre nombres dérivés d'une fonction continue 

 à variation bornée f{x) est toujours fini, l'ensemble des valeurs de x, pour 

 lesquelles f {x) n'a pas de dérivée, est de mesure nulle, et l'on a : 



(2) ff{x)dx=f{b)-f{a), 



l'intégrale n'étant étendue qu'à l'ensemble des valeurs où la dérivée existe. 



» Parmi les fonctions /(a;) qui remplissent les conditions énoncées se 

 trouvent les fonctions à nombres dérivés bornés, ou fonctions satisfaisant 

 à la condition de Lipschitz : 



\f(^x + h)-f{x)\<m\h\. 



» Pour ces fondions lipschitziennes, les points en lesquels il n'existe 

 pas de dérivée sont exceptionnels, en ce sens qu'ils forment un ensemble 

 démesure nulle; si l'on remarque qu'une fonction lipschilzienne est déter- 

 minée quand on connaît sa dérivée, sauf pour des valeurs de x formant 

 un ensemble de mesure nulle, on voit que, sans introduire de restrictions 

 nouvelles, on pourra, dans bien des cas, raisonner sur les fonctions 

 lipschitziennes comme sur les fonctions dérivables. Ceci explique que, 

 dans les théorèmes d'existence relatifs aux équations différentielles, il 

 importe peu que les fonctions dont on s'occupe soient dérivables ou 

 lipschitziennes. 



» On peut aller plus loin : Si une fonction continue J(x) varie toujours 



(') Intégrale, Longueur, Aire (Annati cli Matenialica, 1902). 



