SÉANCE DU l6 MARS IQoS. 66l 



dans le même sens ou plus généralement est à variation bornée, l'ensemble des 

 valeursde x, pour lesquelles /' (^x) n'existe pas, est de mesure nulle; seulement 

 l'égalilé (2) n'est plus nécessairement exacle. 



» T>es résultats |)récé(lents peuvent être obtenus en se pinçant à un autre 

 point de vue. L'inlégiation au sens de Riemann ne peut pas conduire à 

 des fonctions n'avant jamais de dérivée, car l' intégrale indéfinie d'une fonc- 

 tion ?(a;) admet 9(37) pour dérivée, sauf pour des valeurs de x formant un 

 ensemhle démesure nulle. Cet énoncé est encore vrai avec la définition de 

 l'intégrale que j'ai adoptée, et l'égalité (1) prouve que certaines fonctions 

 sont des intégrales indéfinies. Si tp(a;) est bornée, l'intégrale de cp(^) est 

 la seule fonction lipschilzienne qui admette <p(>r) pour dérivée, sauf pour 

 un ensemble de mesure nulle de valeurs de x; l'intégration (au sens de 

 Riemann ou à celui que j'ai adopté) est ainsi, en quelque sorte, le pro- 

 blème inverse de la dérivation. 



» Pour avoir une image géométrique des résultats énoncés précédem- 

 ment, il suffit de les appliquer à la théorie des courbes rectifiables. Pour 

 qu'on puisse choisir la représentation paramétrique d'une courbe C, 



de manière que les fonctions/, tp, A soient lipschilziennes, il faut et il suffit 

 que C soit rectifiable. Supposons C rectifiabie et /, m, ij; lipschilziennes, 

 alors la longueur de l'arc t,, t^ est, si les axes sont rectangulaires, 



fsif"+<?"+rdt, 



où l'intégrale n'est étendue qu'aux valeurs de t [)our lesquelles^', cp', ■■{/' 

 existent à la fois. Sur toute courbe rectifiabie il existe des points où la 

 courbe admet des tangentes, et même, en un certain sens, les points en 

 lesquels il n'existe pas de tangente sont exceptionnels. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les gcodésiques des variétés à trois dimensions . Note de 

 M. A. Boulanger, présentée par M. Painlevé. 



« Je ne sache pas qu'on ait signalé de variétés à trois dimensions (en 

 dehors de la variété euclidienne), dont les géodésiques admettent une 

 transformation infinitésimale (non conforme) en elles-mêmes. 



» La condition nécessaire et suffisante pour que les géodésiques d'une 

 variété admettent une telle transformation est qu'il existe une forme qua- 



