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dratique ch'^ des différentielles des variables de la variété qui soit à la fois 

 correspondante et homologue du ds" de cette variété (P. Painlevé, Comptes 

 rendus, t. CXVI, p. 21, ei Journal de Mathématiques, iSgA)- 



» Il résulte de là d'abord que ds- et ds'^ |jeuvent être simultanément 

 ramenés, par un changement de paramètres, aux formes de Levi-Civita 

 (Annali di Matemalica, 1896). La classification de ces formes est basée sur 

 la multiplicité des racines du discriminant A('X) de la forme ds'^ -h^ds- 

 ( regardée comme fonction des différentielles). Dans le cas où le nombre 

 des variables est égal à trois, on a à distinguer les cas suivants : 



)) 1° A ()v) a une racine triple. Alors ds''^^Cds'-(C constante). La 

 transformation serait conforme (cas exclu comme connu). 



» 2° A(>.) a une racine double. Je prends pour formes canoniquesde ^5^ 



et ds", : 



ds"" = dx- + X(^). G(j,^) dydz, 



dx" X.G j , 1 



I 



^57= G 



(G et c constantes arbitraires). 



» 3° A(X) a trois racines simples. Les formes canoniques de ds"^ et 

 de ds\ sont : 



) 



ds- = (X - Y)(Y - Z)dx- + (Y -Z)(Y - X) dy- + (Z - X)(Z —Y)dz' 



_ p (X-Y)(Y-Z)(Z-X) r dx- dy^ 



«*,-^ (X + c)(Y + c)(Z + c) L(X + c)(Z-Y) "^ (Y + c)(X-Z) 



f/j' "I 



+ (Z + c)(Y-X)J 

 (X fonction de x seul, Y dey, Z de z). 



» Il reste à exprimer que les deux formes ds- et ds\ sont homologues, 

 c'est-à-dire, dans le cas d'une transformation infinitésimale, qu'on peut 

 passer de ds'^ à ds'^ en changeant x, y, z, respectivement en a; 4- ^^t, 

 y -Jr r^t, z + 'Q^t (^, ri, X,, fonctions de x,y,z; S^ constante infiniment 

 petite). J'ai formé, dans les deux cas, le système des six équations de 

 condition où figurent H, ri, '(, et X, G ou X, Y, Z, ainsi que leurs dérivées du 

 premier ordre. L'élimination des fonctions ^, yi, "C, entre ces équations et 

 celles qui s'en déduisent par dérivation, fournit les conditions nécessaires 

 et suffisantes d'existence de la transformation, liant (X, G) dans le second 

 cas, (X, Y, Z) dans le troisième. 



» Dans le second cas, il est relativement facile de former ces conditions 

 et d'intégrer le sy'stème différentiel obtenu. J'ai ramené la question à la 



