SÉANCE DU l6 MARS IQoS. 663 



détermination de trois fonctions f(y), 4'(^)> ^(.Y ~^ ^) telles que 

 Les solutions de cette équation fonctionnelle sont : 



(m, n, p, q constantes arbitraires). 



» J'obtiens ainsi ce résultat : Toute variété à trois dimensions dont les géo- 

 désiques admettent une transformation infinitésimale en elles-mêmes , et qui ap- 

 partient au second cas, est applicable sur l'une ou l'autre des variétés {x,y, z) : 



ds'- = dx^ - l^-^^^-^dydz, 



ds- = dx- + 4 ,,, , .■■2 dy dz 



Cïï'-x 



Ces ds- admettent les transformations suivantes en eux-mêmes 



E = 2atangh(7 4-s), Ç = __, 



7) = a tangho; + èCh2j' -f- c, r,=^ a tangha: 4- by--{- c, 



K = atangha;+ bChaz -{- c, C = a tangha; 4- bz'^ -\- c 



(fl, b, c constantes arbitraires). Les géodésiques admettent dans les deux 

 cas la transformation infinitésimale (non conforme) en elles-mêmes : 



Ç=Sh2a;, Yi = o, C = o. 



» Dans le troisième cas indiqué ci-dessus, le système différentiel obtenu 

 plus baut m'a paru inextricable, et je me suis borné à rechercher les condi- 

 tions pour que les géodésiques admettent, pour le type canonique, une 

 transformation de la forme : 



l = k(x) + S.(y,z), ■n = B(j) + H(z,x), 'C = C(z)-i-Z(x,y) 

 » Cette restitution limite singulièrement la recherche; je suis parvenu 



