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et la forhie 4?(^,.}') est l'invariant de la relation singulière 



x-(A-^ - 88" - D) + j(é'- - Pg' - 2^) = o. 



» Lorsque les périodes vérifient le système (2), ie puinl modulaire, 

 c'est-à-dire le point qui admet pour coordonnées cartésiennes les trois 

 invariants absolus de la forme binaire d'ordre six, liée aux fonctions abé- 

 liennes considérées, décrit une courbe algébrique C; celle-ci ne change 

 pas quand on remplace la forme initiale cp par une forme proprement ou 

 improprement équivalente à ç ; elle est donc associée a une classe de formes 

 quadratiques binaires positives, proprement ou improprement équiva- 

 lentes entre elles. 



» J'ai indiqué (/oc. cit.) la nature du groupe fuchsien de C; il se 

 rattache, par une liaison mise en lumière par M. Poincaré, à certaines 

 transformations en elle-même de la forme ternaire indéfinie z'- — 9(0?, y), 

 et l'on en conclut aisément que, si les deux formes z^ — cp(a-,j') et 

 z- — 9, {x,y) sont équivalentes, les courbes C et C,, associées aux classes 

 <p et cp,, sont du même genre et se correspondent point par point. 



» II. Or, pour que =^ -- cp et :;- — <p, soient équivalentes, il faut et il 

 suffit que les formes 9 et cp,, qui ont nécessairement le même déterminant, 

 appartiennent au même genre. 



» Posons, en effet, 



cp, = D,x--i- 2q,xy-hfj,Y-, A = /?!) — 7- =/>, D, - <y; ; 



les adjointes de ;- — ç et z- — o, sont les formes proprement primitives 



F =-DY- 4-2^XY -/jX- +AZ^ 

 F, = - D, Y- + 27, XY -p,X--h AZK 



» Si -' — <p et z- — ç, sont équivalentes, F et F, le sont également et 

 appartiennent dès lors au même genre; par suite, </, désignant un diviseur 

 premier de A, les caractères quadratiques de F et F,, par rapport à d,, 

 coïncident, c'est-à-dire qu'on a 



ai J V 'A 



/ ç \ _ / 9, 



en d'autres termes, (-^j = (^')' ^® ^"^ prouve bien que ç et ç, appar- 

 tiennent au même genre, lorsque du moins A, qui est impair, est du 

 type 4 N -h 3. Si A est du type 4 N -h 1, on établit aisément, en partant de 



