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et la transformation correspondante est alors déterminée, à une transfor- 

 mation ordinaire près du premier degré. Nous dirons que les nombres 

 /, kl, k]j. sont ses indices. 



» Deux transformations d'indices /, kl, k[j. et /, , k^\^, k^^-t seront dites 

 équivalentes si elles font correspondre, aux périodes g, h, g' vérifiant (2), 

 deux systèmes de périodes équivalents entre eux, c'est-à-dire donnant le 

 même point modulaire; de même, deux solutions eu nombres entiers de 

 l'équation 



z- — (Da;^ + nqxy -Hyoy") = 1 



seront dites équivalentes si l'une se déduit de l'autre par une des transfor- 

 mations /3w?c7/)a/e.« en elle-même de la forme z- — ©(a?, j') : par trans- 

 formations principales, nous entendons celles qui dérivent, suivant les 

 formules classiques d'Hermite et de M. Bachmann, des solutions entières 

 de l'équation 



U-+F(X, Y, Z)==± 1, 



F étant l'adjointe de z- — ©. Nous dirons aussi que les solutions z, x, y 

 et iz, riX, r,j sont équivalentes (e, •/) ^ ± i). 



» Cela posé, nous démontrons facilement, à l'aide de nos formules sur 

 la multiplication complexe, ce théorème : 



» A une solution l, kl, k'j. de l'équation 



/- — k-o(l, [j.) = I, 



1 et IL étant premiers entre eux, correspond, pour les fonctions abélicnnes dont 

 les périodes vérifient (2), une transformation singulière du premier degré, 

 d'indices l, kl, k[j.; à deux solutions équivalentes répondent deux transforma- 

 tions équivalentes; à deux solutions non équivalentes répondent deux transfor- 

 mations non équivalentes. 



)) Par suite, à un point modulaire P, donné par des périodes qui véri- 

 fient (2), les transformations singulières du premier degré font corres- 

 pondre N points modulaires distincts P,, en désignant par N le nombre des 

 solutions, non équivalentes entre elles, de l'équation z- — cp(.r, y) = i. 

 Parmi les P, figure d'ailleurs le point P, qui répond à la solutions = i-, 

 X ^ y := o. 



» IV. Appliquons maintenant au système (2) la transformation du pre- 

 mier degré d'indices /, kl, kv. : ce système se transforme en un autre 

 système singulier, et l'on obtient, sans autre difficulté que la longueur des 

 calculs, l'expression suivante de la forme binaire '\i, associée à ce dernier. 



