SÉANCE DU 23 MARS igoS. 72 1 



» Soient 'X' et fx' deux entiers vérifiant la relation Xk' -h [x;/= i; on aura 

 \ i(.r, y) = Vida- +■ Iij.'y)- - ■iq{'>..v -|- l^y)( — [j.x + 11' y) 



n On reconnaît immédiatement que (]/ est primitive en même temps que <p; 

 qu'elle a même déterminant et qu'elle appartient au même genre que la 

 forme o. 



» Rcciproquement, je dis que toute forme positive et primitive, 'V , du 

 même genre que «p, est équivalente à une forme i, du type (3). 



» En effet, d'après Gauss, à une solution — /, kX, k[j. de l'équation 



/-— k-(!^{\,<j.) = i, 



correspond une représentation propre d'une forme binaire, de déterminant 

 (f- — pY), parla forme 



3f = />X=-27XY + DY-- {p\y-q')Z-; 



et inversement. Pour déterminer cette forme binaire, il faut trouver 

 six entiers a,, p,, y,, vérifiant les équations 



(4) a.P:;— Pia2= — ^; ^r!2 — ^(^%l^k\•, y, a:- — =^, Y2 = ^>, 



et l'on obtient la forme binaire en faisant, dans §, 



X = a,a^ + a.j; Y —^^x ->r ^.,y; Z = y, a; -+- y. y. 



» D'ailleurs, à toutes les solutions entières de (4) correspondent ainsi 

 des formes binaires équivalentes entre elles. Une solution particulière 

 de (4) est oc, = — [/. ; a^ = /X'; |3, ^T,, pj= /y/; y^ = o,yi = k, d'où résulte, 

 comme forme binaire représentée par §, la forme même qui constitue le 

 second membre de (3). 



» Ainsi, toute forme binaire, de déterminant q- — pD, représentable 

 proprement par ^, est équivalente;» une forme du type (3); pour démontrer 

 la réciproque énoncée plus haut, il suffit dès lors d'établir que la forme 

 primitive, ({/', du même genre que ç, est proprement représentable par ^. 

 Or, ç et I' étant du même genre, les formes :;- — o et z-^ — <ii' sont équiva- 

 lentes; leurs adjointes (changées de signe), 



9(Y, - X) - 0.D - q'^)Z^; f (Y, -X)~(pD- q'-^)Z\ 



le sont donc également, et dès lors, la forme ^' , représentable proprement 

 par la seconde, l'est aussi parla première, qui coïncide avec $. 



