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» De toute cette analyse résulte lethéorènne suivant : 



» Si o(ir, y) est une forme quadratique binaire positive, primitive, de dé- 

 terminant impair ('), nous savons que tous les systèmes de deux relations 

 singulières qui donnent naissance à des formes de la même classe que o sont 

 réductibles à l'un d entr$ euop pçir des transformations ordinaires du premier 

 ofdr^. 



» Appliquons maintenant à ce système une transformation singulière de 

 degré i ; il se change en un autre système singulier, et si A est la forme binaire 

 associée à ce nouveau système, les formes (prirnitivçs) «p e^ ij; appartiennent au 

 même gefire. Réciproquement, si ^ est une forme primitive {proprement ou 

 non) du même genre que cp, elle est associée à un système singulier, qui dé- 

 rive du système initial par une transformation singulière du premier degré. 



» Sous une autre forme, les systèmes de àe\i\ relations singulières qui 

 donnent naissance à des classes de formes binaires d'un même détermi- 

 minant impair (ou impairement pair), et appartenant au même genre, sont 

 réductibles à un seul d'entre eux par des transformations singulières du 

 premier degré. 



» Pour obtenir ainsi, en partant du système (2), tous les autres sys^ 

 lèmes qui donnent naissance à des classes de formes du même genre, 

 il faudra opérer comme il suit. Appelons solutions fondamentales de 



l'équation 



-2_(p(a?, y) = I 



des solutions dont on peut déduire linéairement toutes les antres, par 

 les formules de transformation en elle-même de la forme z" — ip(i", J'); 

 l'une sera :; = i, a-=j' = o, soit z ^=^ l^, x ^ kil^; y^ki^j-i une quel- 

 conque des autres, }i, et jx, étant premiers entre eux : en appliquant au 

 système (2) toutes les transformations singulières d'indices /,-, Xv^/? '^"(i^-i' 

 on obtiendra tous les systèmes cherchés, et chacun une fois. Le nombre 

 total des solutions fondamentales de l'équation z- — a>(^, J') = i est donc 

 égal au nombre n des classes de formes du même genre que la forme ini^ 

 tiale (p : par classe nous entendons, dans cette Note, l'ensemble des fornies 

 proprement ou improprement équivalentes entre elles. 



» On admet, pour simplifier, que le genre considéré ne renferme pa;, de 

 classe ambiguë. 



» Si donc le point modulaire P est sur la courbe algébrique C, associée 



(') Ou impaireiflent pair, 



