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se réduisant aux fonctions harmoniques de M. H. Poincaré dans le cas 

 limite de Z* = oo; 'j" fonctions universelles de M. A. Rorn (^Comptes rendus, 

 5 janvier i^oS), et ainsi de suite. 



» Toutes les fonctions indiquées satisfont aux conditions (t); nous 

 entendrons maintenant par Y^{k = i, a, 3, .. .), une suite quelconque de 

 fonctions tout à l'heure mentionnées ou, plus généralement, une suite 

 quelconque, analogue à celle-ci. 



» Soit maintenant /une fonction quelconque. Si cette fonction se déve- 

 loppe en série procédant suivant les fonctions V^., on aura 



(2) /=i;A.V„ A, = |"cp/V,r/e(<), 



et, si cette série converge uniformément, 



f'f/'de^'^Al. 

 *=) 



» Soit maintenant /une fonction qui n'est que bornée et intégrable dans 

 un domaine quelconque. Dans ce cas la série (2) n'a, en général, aucun 

 sens, mais je puis énoncer ce théorème remarquable, susceptible de nom- 

 breuses a|)plications importantes : 



Théorème. — Quelle que soit la fonction f bornée et intégrable dans un 

 domaine quelconque, quelle que soil une autre fonction A, intégrable dans ce 

 domaine, on aura toujours 



f^ /^ ^e = _2 A , B„ B, = l'çA V, de, 



comme si les séries ^ A^. V^, Vb^.V/,., divergentes en réalité, étaient non seule- 



k = \ k = \ 



ment convergentes, mais encore uniformément convergentes. 



» Ici je ne puis qu'énoncer ce théorème, dont la démonstration détaillée 

 fera l'objet d'un travail particulier. » 



(') Nous supposons, poui' plus de simplicité, qUe / c-V^ de,^^\. 



