SÉANCE DU 6 AVRIL ipoS- 879 



GÉOMÉTRIE. — Sur une nouvelle Iransforniation des surfaces à courbure 

 totale constante. Noie de M. C Guichahd, 



« On sait que, dans la recherche des surfaces à courbure totale con- 

 stante, la principale difficulté réside dans l'intégration de l'équation 



(I) J^-^sine. 



\ ' du av 



Si l'on connaît une solution de celte équation, on peut en déduire une 

 infinité d'autres par la transformation Bianchi-Bâcklund. f^a transfor- 

 mation que je vais exposer est bien distincte de celle-là, car on prend 

 comme point de départ deux solutions quelconques de l'équation (i). 

 » Si l'on considère les équations simultanées 



d'o , 



^Y-T — smtp CQSd*, 

 du Ov ^ ^ 



^i — ;- = sini coscp, 

 du àv ' ' 



on voit tout de suite que 9 + i|^ et que (p — ^ sont des solutions de (i), et 

 que, inversement, si l'on a deux solutions du système (i) on en déiluit 

 une solution du système (2). 



» Soit (D et J/ une solution du système (2); déterminons a; et j' par les 

 équations 



l dx d'I ■ / V 



(3) 



(4) 



1 dx d<3 I . . . . 



f -y- = r- H sin(i-+- x), 



' di' dv "i ' ■' 



du du \ ■ ^ / 



dr do i . , . , 



df oc "' '^ ^ 



où m est une constante arbitraire; les deux valeurs de ^i-—r- déduites des 



du di' 



équations (3) étant égales, le système (3) admet une solution renfermant 

 une constante arbitraire. Si l'on prend comme inconnue tang -> les équa- 

 tions (3) deviennent des équations de Riccali et, par conséquent, si l'on 



