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montrer qu'il n'cxisle pas de relalinns (2), en dehors bien enléndii de x^a, 

 en (lésii^nanl par a une racine de /. 



» Soil z = vF( )')'(; on aura 



el l'on pourra satisfaire à celte équalion en prenant pour X, une fonclion 

 rationnelle de x,y et v/F(j'), 1rs deux lettres x et y élant liées jiar la rela- 

 tion irréductible 



9(''^^.}') = "• 



)) Donnons à y une valeur déterminée, et considérons une détermina- 

 tion de sjV{y); on aura pour x les p racines a:,, x.,, . . ., ^^. Formons les 

 sommes 



(E) il^+£L^+...+ £fe (), = o,r, ...,/>-.;. 



» Puisque \lf{xi) est une fonction rationnelle de a;,-, y et vF(y), les 

 sommes jirccédentes seront de la forme 



%.[y,sjy(y}\^ly. 



R)^ étant rationnelle en y et \/F( jy), et les intégrales 



Je)[j, s/F(7)]<K 



seront des intégrales de première espèce. Toutes les fonctions R ne peuvent 

 être identiquement nulles, car des équations obtenues en égalant à zéro 

 les expressions (E), on déduirait que deux des x sont égaux, ce qui est 

 contradictoire avec l'irréductibilité de o. Ceci posé, nous aurons donc aii 

 moins une intégrale de première espèce relative à la courbe m*^ ^(j)» 

 dont tontes les périodes appartiendront à une intégrale de première espèce 

 relative à la courbe v" =/(^)- 



» Cette circonstance ne peut se présenter que si le polynôme F(}') est 

 spécial, ce qui démontre l'impossibilité de la relation o. Nous avons sup- 

 posé que le polynôme irréductible cp était de degré /j; la même démonstra- 

 tion s'a|)pliquerait s'il était de degré moindre. 



» On conclut facilement de cette analyse que, pour F(j) arbitraire, 



