SÉANCE DU l/( AVRIL 1903. 91 5 



loules les intégrales relaln'es à la surface 



sont (les combinaisons algéhiico-lo^arilhniiqiies. 



» 3. I.e cas le plus simple est i cliii de p = i . Dans ce cas/(a-) est (\u 

 (roisième tiegré, et l'on est ramené à étudier les fonctions rationnelles s et a? 

 àa y satisfaisant à la relation 



s^ = /(.f)F(v), 



en dehors de 2 = 0, x = a (a étant racine de /). Les considérations précé- 

 dentes monlreiitde suite cpie la fonction rationnelle ii- dey devra satisfaire 

 à la relation 



(7,) -^ = P(y)- ''■>' 



P( X) étant un polynôme de degré au plus égal à y — i si F est de degré 

 2y -t- I. La réciproque est d'ailleurs exacte : si l'on peut trouver une fonc- 

 tion rationnelle .r de j' satisfaisant à une relation de cette forme, la valeur 

 correspondante s sera fonction rationnelle dey. Il est clair que si P(y) 

 n'est pas un puluiome spécial, le problème n'aura pas de solution. 



» Four prendre un cas très simple où le problème a des solutions, sup- 

 posons que V(y) — /(y). Alors P se réduit à une constante C et l'équa- 

 tion (4) devient 



da: , dy 



7m~ 'TKy)' 



» (letle é(|uation se rencontre dans la tliéorie de la multiplication des 

 fonctions elliptiques. Si les. fonctions elliptiques correspondant au poly- 

 nôme fi^x) n'admettent pas la multiplication complexe, C sera nécessaire- 

 ment un entier réel m; et si /{^') est le [jolynome normal de Weierstrass, 

 on aura, en posant 



X = P(")' x = p{mu), 



les fonctions rationnelles chercliées x de y. \]\\& analyse plus détaillée est 

 alors nécessaire pour savoir si tontes les intégrales de dilférenlielles totales 

 relatives à la surface 



sont des combinaisons algéfrico-louarilhmiqnes. La conclusion est encore 

 alfirmative. 



