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» Une discussion analogue serait à faire si le polynôme F( j) du para- 

 graphe précédent était un polynôme particulier répondant au cas, qui peut 

 se présenter, où un polynôme (p irréductible de degré /j au plus par rapport 

 à X correspondrait de la manière indiquée à la surface (3). 



» 4. Revenons'à des cas plus généraux. Pour faire l'étude complète des 

 intégrales de différentielles totales relatives à une surface de degré m 

 (à'singularités ordinaires) 



/(x,y, z.) = o, 



il faut considérer les courbes gauches tracées sur cette surface. On voit 

 aisément que, par la soustraction de termes logarithmiques convenables, 

 on peut se borner au cas où l'intégrale n'a d'autres courbes logarithmiques 

 que des courbes coupant les plans y =^ const. seulement en p points au 

 plus (en dehors de courbes correspondant àjj' = const.). La question, 

 généralisant d'ailleurs celle qui a été traitée plus haut, est donc de trouver 

 sur la courbe entre x et z 



/{x,y, z) = o (p est le genre de la courbe pour y arbitraire) 



renfermant le paramètre arbitraire y, tous les groupes de p points dépendant 

 rationnellement de y. 



» Cette étude générale ne paraît pas facile. Nous allons considérer seu- 

 lement le cas où l'on aurait la surface 



(oc) ;"'=j:'"+P(y) (w>3), 



P(j) étant un polynôme arbitraire dedegrém. Soit donc sur la courbe (a), 



1 • / • ■ ( "î — ' ) ( "* — ^ ) \ j • j 1. 

 entre x et :;, un groupe de p pomts ( ici ^= 1 dépendant 



rationnellement de j et posons 



a.=rv^(7). --r;p(v). 



On aura 



(P) 2;'"= ;"' + !. 



et, sur la courbe (p), au groupe des p points (^,, ^,) de la courbe (a) cor- 

 respond un groupe de/? points dépendant rationnellement de j et \J^{y)- 

 On démontre que, si le polynôme P(j') est arbitraire, on aura 



^i{l„l,)di, + '^i{l,X-;)dl,-^... + M^,,l„)dlp=o (1 = 1,2 p), 



en supposant'que R,(^,C)c?^ soit l'élément d'une intégrale de première 



