SÉANCE DU l4 AVRIL I()o3. 917 



espèce de (p). De là se déduit d'abord que les/» points (ç,, ^,) sont sur 

 une adjointe d'ordre m — 3 de la courbe (p). On peut aller plus loin, et 

 montrer que cette adjointe rencontre la courbe (p) en p — 1 autres points 

 dont les coordonnées ne dépendent pas de y. 

 » Il résulte de ces faits que, pour la surface 



z"'=x'"+V{y), 

 on peut trouver une surface 



K{x,y,z) = o, 



de degré m — [\ en x et z, rencontrant la surface à distance finie suivant 

 la courbe initiale considérée (correspondant au groupe des p points), et 

 suivant les/j — 2 courbes planes irréductibles correspondant aux sections 



x — ^iZ — o (i=i, 2, ..., p — 2), 



les 1^ n'étant pas racines wi"™*^ de l'unité; il pourra v avoir, en outre, des 

 courbes de rencontre correspondant à j' = const. [ces constantes étant 

 racines de P(j') = o]. 



» 5. De ces résultats nous allons tirer des conclusions intéressantes sur 

 les intégrales de différentielles totales relatives à la surface 



z"':^x'"-+-P(y). 

 » Par la soustraction d'expressions de la forme 



C\ogK{x,y,z) — C'^log(x — lis), 



i 



OÙ B. a la signification du paragraphe précédent et oii C est une constante 

 convenable, nous pouvons ramener une intégrale donnée à n'avoir plus à 

 distance finie d'autres courbes logarithmiques que des lignes droites cor- 

 respondant à j =^ a [a étant racine deP(y), valeur pour laquelle la courbe 

 entre 5 et a; se décompose en rn droites]. 



» Il est facde de discuter les intégrales de différentielles totales aux- 

 quelles on est ainsi ramené; ces intégrales s'expriment nécessairement 

 par des logarithmes et des fonctions rationnelles, et nous pouvons 

 conclure que toutes les intégrales de différentielles totales relatives à la 

 sur/ace considérée s'expriment par des combinaisons algébrico-logarithmiques. 



» La surface considérée est une surface d'ordre m sans singularités. La 

 propriété précédente appartient-elle à la surface générale de degré /w? Il 



