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est probiible, mais le fait n'est [)as encore 'léiiionlré, car fJans les questions 

 (le ce genre la nature arithmétique des coeflicii nts peut jouer un rôle 

 comme dans plusieurs problèmes relatifs à la théorie des surfaces (par 

 exemple, le nombre invari.int relatif aux intégrales (buibles de seconde 

 espèce). 



» 6. Terminons par une dernière recherche relative aux surfaces 



z-"^.x-'" + P{ v). 



» J'ai autrefois établi cpie, sur une suiface ali;ébrique à singularités 

 ordinaires, on peut tracer p courbes algébriques irréductibles [)articulières 



Kt I , VJ2, ■ • . , '-'p, 



telles qu'il n'existe pas d'intégrale de différentielle totale de troisième 

 espèce ayant seulement pour courbes Iogarithmi([ues la totalité ou une 

 partie de ces courbes C, mais telles qu'il existe une intégrale avant seule- 

 ment pour coiu'bes iogarithiniques une p -I- i"""^!:;outbe quelconque f de la 

 surface, et la totalité ou une partie des courbes C. Dailleurs, comme je 

 l'ai iudiipié (^Comptes rendus, iQoa), ce nombre p a lui caractère invariant, 

 pourvu cpie dans une classe de surfaces on considère ^eulement eelles f[ui 

 n'ont pas de courbes exctpliotinelles. 



» La recherche d'un système de courbes peut se faire facilement sur 

 notre surtace. Cntisidéioiis m — \ des racines 



de l'équalion ^{y) = o. I,e plan 



coupe la surface suivant m dioites. Supprimons la droite située ilans le 



plan 



3 — £.r = o, 



£ étant une racine /;?""'"•' déterminée de l'unité; nous avons ainsi, sur 

 chaque: pla,n 



y = «M 



m. — I droites et, par suite, en tout, (m — i)^ droites. A ces droites adjoi- 

 gnons la courbe à l'infini. Nous aurons ainsi un système de {m — i)-^- ( 

 lignes, qui peut être pris pour le système des courbes C. Ou a ici 



p = («j — I )- -f- I . )) 



